1. Комплексное число. Алгеброическая, тригонометрическая и показательные формы записи.

Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. Мнимые числа), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy,  , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент   (x = rcos φ, y = rsin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r(cos φ + isin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^iφ,

где e^iφ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

2. Действия над комплексными числами. Возведение в степень. Извлечение корня n-ой степени.

Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

Умножение

Деление

 Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме.

,

Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства   следует равенство  .

         Из равенства комплексных чисел следует  , а аргументы отличаются на число, кратное   ;  . Отсюда  ,  . Здесь   есть арифметическое значение корня, а k  – любое целое число. Таким образом, получается формула .

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k  = 0, 1, 2, … , n  -  1.

        Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы   и   отличаются на величину, не кратную   , и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную   . Поэтому разность

не может быть кратна   .  Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k₃–  целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k . Это число можно представить в виде k₃= gn + k_i, где g  –  целое число, а k_i –  одно из чисел этого ряда, поэтому  , то есть значению k₃ соответствует то же значение корня, что и значению k_i.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.