45. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть   дифференцируема на  , её производная   интегрируема на этом же отрезке. Тогда 

Доказательство:

Так как   — интегрируема, то   равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для  . Поэтому, если   — разбиение  , то . Так как   дифференцируема, то, применив в каждой скобке формулу Лагранжа, получим: , следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая — постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.

Следствие

Объединяя эту теорему со следствием к теореме Барроу получаем следующий факт:

Утверждение:

Пусть   — непрерывна на  ,   — одна из первообразных. Тогда

46. Замена переменной в определенном интеграле

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

47.Интегрирование по частям для определенного интеграла.

(u, v непрерывно дифференцируемы на интервале  ).

48.Вычисление площадей плоских фигур.

49.Вычисление длины дуги плоской кривой.

НЕ ЗНАЮ

50.Вычисление объемов тел вращения

Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функцииy = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 7.2.1), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = πf ² (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения – через V.

Т еорема 7.3. 

Объем тела вращения равен 

Доказательство

Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда 

Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция 

следовательно, 

Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем 

то есть V' (x) = S (x).

Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем 

Т еорема 7.4. 

Объем шара равен   где R – радиус шара.

Доказательство

В качестве тренировки докажите, что объем эллипсоида, задаваемого уравнением   определяется формулой