32. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x)отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый.

Установить интервалы выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x².

Найдем y '' и определим, где вторая производная положительна и где отрицательна. y' = –2x, y'' = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e^x. Так как y'' = e^x > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x₀) = 0 или f ''(x₀) не существует и при переходе через значение x= x₀ производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x₀ и f ''(x) > 0 при x > x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x₀ и f ''(x) < 0 при x > x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнутости кривых.

1. 

Найдем производные заданной функции до второго порядка.

.

. Вторая производная не существует при x = 1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

Итак, точка перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞; 1).

33. Асимптоты кривой

Аси́мпто́та (от греч.— несовпадающий, не касающийся) кривой с бесконечной ветвью — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела  .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1. 

2. 

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида   при условии существования предела

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида   при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

1. 

2. 

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен  ), то наклонной асимптоты при  (или  ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела  , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при  , и из выше указанных замечаний следует, что

1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну горизонтальную асимптоту, или одну наклонную и одну горизонтальную, или две наклонных, или две горизонтальных, либо же вовсе не имеет асимптот.

2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение вертикальных асимптот.

2. Нахождение двух пределов 

3. Нахождение двух пределов  :

если   в п. 2.), то  , и предел   ищется по формуле горизонтальной асимптоты,  .

[править]Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция  .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При    ,    ,   то есть:

,

и   является искомым уравнением асимптоты.

34. Общий план исследования функции

Исследование функции удобно проводить по следующему плану.

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Четность, нечетность функции.

4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

5. Невертикальные асимптоты.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8. Дополнительные точки,  (по мере необходимости).

9. Построение графика.

Подчеркнем, что пункт 8 не является необходимым. его выполняют, если необходимо уточнить график.

 Пример 3. Исследовать функцию   и построить ее график.

1. Область определения   так как при   и х=2 в знаменателе получается нуль.

2. Пусть х=0, тогда у=0.

Пусть у=0, тогда 

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

3.  =  – функция нечетная.

4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены.    ;     Это означает, что в точках   и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые   и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

5. Найдем невертикальные асимптоты.

   следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при   и  .

6.        Вычислим   при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки   и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

На интервалах   функция убывает. Экстремумов нет.

7.      Вычислим 

y'' = 0;  ; 

х = 0;   х = 2 – критические точки второго порядка.

На интервалах   и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и   – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.