34.Предел функции на бесконечности.

Число L называется пределом функции y=f(x) на положительной (отрицательной) бесконечности, если для любого как угодно малого числа >0существует такое число M>0 (выбираемое в зависимости от ), что для всех значений аргумента x из области определения функции y=f(x), таких что выполняется условие x>M (x<-M), соответствующее значение функции удовлетворяет неравенству .

32.Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость  задана уравнением    – ее нормальный вектор, а прямая  задана уравнениями    – направляющий вектор прямой. Обозначим  – угол между прямой и плоскостью,  – угол между соответствующими векторами (рис.46). Очевидно,  а  или  Но  тогда синус угла между прямой и плоскостью можно найти по формуле

(2.39)

Рис. 46

Если  то  (рис. 47), то есть  или

 

(2.40)

 

–         условие параллельности прямой и плоскости. При этом же условии прямая лежит в плоскости.

Рис. 47

Если  то (рис. 48), то есть  – условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой  и плоскости  Запишем параметрические уравнения прямой      и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости. Получим уравнение вида  относительно параметра t. Выразив t и подставив в параметрические уравнения, найдем координаты точки пересечения.

 

Рис. 48

Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.

Если уравнение относительно t примет вид 0  t = N (то есть М = 0, N  0), то такое уравнение решений не имеет, значит, прямая и плоскость не

35.Предел функции в точке.

 Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал   x  , окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

 Под окрестностью О() символа бесконечность понимается внешность любого отрезка ,, то есть О () = (-,)  (,+ ).

 б-окрестностью точки а называется интервал (а–б, а+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а)  (а, а + б).

 Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xX, то есть О (а) X   для  О(а).

 Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при xа), если для любого   0 cуществует число б ()  0 такое, что для любого x  X, удовлетворяющего условию 0  x – а  б,следует неравенство f (x) – A .

 Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0  x- а б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

 Говорят, что число А является пределом функции f(x) при xа, если для   0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = x 0 x-aб,где б =б (), такая, что для  x  O (а, б) выполняется неравенство f(x) – A  .

 При этом пишут:

Утверждение  эквивалентно следующему:

f(x) – A   при x   ∆, где ∆ = ∆() зависит от  и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.

 Множество всех точек x, для которых x  ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .

Односторонние пределы

Любой интервал (a, а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

 Аналогично любой интервал (a, b), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

 Символически запись означает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > а;  означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

будем называть левосторонним пределом функции при слева, -это правосторонний предел функции.

 Теорема. Функция у = f(х) имеет  в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее  и . Tогда  =  =