28.Случаи расположения плоскости относительно осей координат.Уравнение плоскости в отрезках.

Если в этом уравнении А, В, С, Д  0, то его можно привести к виду

 

-уравнение плоскости в отрезках (аналогично (2.14)). Здесь а, в, с – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.

Неполные уравнения плоскостей

Если в уравнении плоскости  какие-либо из коэффициентов равны нулю, то получится неполное уравнение плоскости.

Пусть, например,  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, проходящую через начало координат (координаты точки О(0; 0; 0) удовлетворяют уравнению).

Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную оси Оz или проходящую через ось Оz при  Действительно, тогда  то есть  а плоскость

Пусть  Уравнение имеет вид  и определяет плоскость, параллельную плоскости Оуz или совпадающую с ней при  Действительно,  то есть  а плоскость  или

Аналогично можно рассмотреть другие случаи.

29.Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между плоскостями.

Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность коэффициентов при одноимённых переменных

Если  то  – условие параллельности плоскостей.

Если  то  то есть  – условие перпендикулярности плоскостей.

Пусть плоскости ₁ и ₂ заданы соответственно уравнениями    где   и  – нормальные векторы этих плоскостей (рис. 45). Очевидно,  тогда косинус угла между плоскостями

 

(2.32)

 

Рис. 45

30.Уравнение прямой в пространстве,как линии пересечения двух плоскостей. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т.е. как мн-во точек, удовлетворяющих системе

Это можно назвать общим видом прямой в пространстве.

Направляющий вектор прямой (2.37) можно найти как векторное произведение нормальных векторов пересекающихся плоскостей:

. Прямую в пространстве можно задать уравнениями, аналогичными уравнениям прямой на плоскости.

 

(2.34)

 

– канонические уравнения, здесь х_о, у_о, z_о – координаты заданной точки на прямой, а m, n, p – координаты направляющего вектора прямой (вектора, параллельного прямой);

31.Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Параметрические уравнения прямой в пространстве.

(2.35)

 

– параметрические уравнения прямой;

 

(2.36)

 

– уравнения прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁, z₁) и М₂(х₂, у₂, z₂).

33.Предел числовой последовательности.

Пусть дано топологическое пространство и последовательность . Тогда, если существует элемент такой, что

,

где — открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

,

где — метрика, то называется пределом .

Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве последовательность , то у неё не будет предела. Если у последовательности существует предел, то она называется сходящейся, если нет — расходящейся