36.Бесконечно малые функции. Связь бесконечно малой функции и функции, имеющей предел.Свойства бесконечно малых функций.

Функция (х) называется бесконечно малой при ха, если  Ясно, что тогда (x)   для x  O (а, б) и   > 0.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x  а функций есть функция бесконечно малая при x  а.  

 Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при x  a функций есть бесконечно малая при x  a функция.

 Теорема 3. Произведение бесконечно малой при xa функции на функцию, ограниченную при x  a, есть бесконечно малая при x  a.

 Следствие. Целая положительная степень (x)ⁿ бесконечно малой при x  a функции (x) есть бесконечно малая при x  a.

 Две бесконечно малые при х а функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, если k, где k 0 и конечно.

 Например, функции у = х+1 и у = х^з+1 при х -1 являются бесконечно малыми одинакового порядка, так как .

 Две бесконечно малые при х а функции (х) и (х) называются эквивалентными при х а, если , то есть  (x)  (x) при x  a.

 Бесконечно малая при х а функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при х а, если .

 В этом случае пишут (х) = о ((х)).

 Так, функция y = х³ является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с y=х при х 0, так как .

 Теорема о связи ограниченной и б.м. Если , то в силу определения предела функции получаем: f(x)-A< при x O(а, б), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при x a. Тогда, полагая f(x)-A=(x), имеем f(x) = A + (x), где (x)  0 при x  a.

 Таким образом, имеем:

   = A <=> f(x) = A + (x), где (x) 0 при x  a.

Лемма. Если , то в некоторой окрестности О(а) точки знак функции f(x) (xX) совпадает со знаком числа А.

37.Бесконечно большие функции.Их свойства.Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций.

 Функция f(х) называется бесконечно большой при если . Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x  O (а, б)  M.

 Лемма(теорема о связи б.м.и б.б). Если f(х)  при х а, то 0 при ха. Если  (x)  0 при x a, то   при x  a и  (x)  0.

 Действительно, пусть f(x)  , то есть является бесконечно большой. Тогда f(x)  М для x  O (а, б).  для x  O (а, б), то есть  для x  O (а, б), это означает, что , так как можно взять в качестве  > 0.

Аналогично доказывается вторая часть утверждения

38.Теорема о единственности предела.Основные теоремы о пределах.Предел сложной функции.

ТЕОРЕМА: (о единственности предела).

Если функция имеет предел, то этот предел единственный.

Доказательство:

метод от противного

limx→af(x)=b,limx→af(x)=c,b/=c .

Возьмем ε=∣b−c∣ , по определению и свойству окрестности найдется выколотая окрестность т. а Uo(a,δ), в которой одновременно будут выполняться неравенства ∣f(x)−b∣<2∣b−c∣∣f(x)−c∣<2∣b−c∣ , тогда в точках этой же окрестности ∣b−c∣=∣(b−f(x))+(f(x)+c)∣≤∣f(x)−b∣+∣f(x)−c∣<2∣b−c∣+2∣b−c∣=∣b−c∣ противоречие (от неправильно допущения)

   

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём .

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)g(х), причем .

 Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно,

 Следствие 2.

 Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом , то существует и предел частного , причем .

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция  также имеет в этой точке предел, причем .

 Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

  , , ,

  , .

 Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

 Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.