4.Означення матриць, типи матриць.

Означення: Матрицею розміром m*n називається прямокутна таблиця елементів деякої множини, яка m рядків і n стовпчиків.

Типи матриць: 1.Матриця-рядок(вектор-рядок), якщо вона складається з одного рядка. 2.Матриця-стовпчик(вектор-стовпчик), якщо вона складається з одного стовпчика. 3.Квадратна матриця n-го порядку, якщо в неї число рядків дорівнює числу стовпчиків і дорівнює n. 4.Діагональна матриця, це квадратна матриця у якої усі елементи дорівнюють нулю, крім елементів якщо (i=j). 5.Одинична матриця n-го порядку це така діагональна матриця n-го порядку, у якої всі діагональні елементи дорівнюють 1. 6.Трикутна матриця - це така квадратна матриця, у якої над(під) головною діагоналлю усі елементи дорівнюють нулю. 7.Нуль-матрия- це така матриця будь-якого розміру, у якої усі елементи дорівнюють нулю. 8.Східцева матриця-це така прямокутна матриця(назву такої матриці можна пояснити тим, що якщо сполучити між собою її нульові елементи, то вони утворюють східці.).

5.Операції над матрицями. Навести приклади.

Над матрицями ,як і над числами, можна виконувати ряд операцій.

1.Множення матриці на число.

(Добутком А на число n називається матриця В= nА, елементи якої = n ). Добуток матриці на деяке число a називається така матриця С , кожен елемент якої одержується множенням відповідних елементів матриці A на a,

2.Додавання(віднімання) матриць

Сумою(віднімання) двох матриць одного розміру m*n називається матриця C=A+B, елементи якої (тобто матриці додаються або віднімаються поелементно).

3.Множення матриць.

4. Піднесення до степеня

Означення: Цілим додатнім степенем квадратної матриці А називається добуток м матриць, рівних А, тобто А=А*А*А*А

5.Транспонування матриці.

Озн: Транспонуванням матриці А називається такий перехід до матриці А, коли рядки та стовпчики міняються місцями зі збереженням порядку.

Властивості операцій над матрицями.

1.A+B=B+A;

2.(А+В)+С=А+(В+С);

3.a(A+B)=aA+aB

4. С(A+B)= СA+СB;

5.(A+B)С= СA+СB;

6.(АВ)С=А(ВС);

7.a(A+В)=(aА)В+А(aВ )

6.Операція множення матриць та її особливості.

1)Якщо добуток АВ існує, то після перестановки ВА може не існувати.

2)Якщо добутки АВ та ВА існують, то вони можуть бути матрицями різних розмірів.

3)Якщо АВ і ВА існує то обидві матриці одного розміру(що можливе при множенні квадратних матриць Ата В одного порядку), комунікативний закон множення матриць у загальному випадку не виконується, тобто АВ не дорівнює ВА. Проте існують такі матриці А та В, що АВ=ВА. Вони носять назву перестановчих (коммутуючих).

4)Добуток двох ненульових матриць може бути рівним нуль-матриць, тобто з того що АВ=0,зовсім не слідує, що А=0 або В=0.

7.Обернена матриця та порядок її відшукання (алгоритм).

Обернена матриця.

Матриця називається оберненою по відношенню до квадратної матриці А, якщо при множенні цієї матриці на А як зліва , так і справа одержується одинична матриця.

Порядок відшукання оберненої матриці(алгоритм)

1.Знаходимо визначник заданої матриці. Якщо визначник дорівнює 0, то матриця А вироджена та оберненої матриці не існує. Якщо визначник не дорівнює 0, то матриця А не вироджена та оберненої матриця існує.

2.Знаходимо транспоновану матрицю до А.

3.Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів транспонованої матриці, та складаємо з них приєднану матрицю.

4. Знаходимо обернену матрицю.

5. перевіряємо чи правильно обчислена обернена матриця, виходячи з означення .