2.5.2. Оценка сложных систем в условиях определенности

Оценивание систем в условиях определенности производится с использованием методов векторной оптимизации с помощью шкал.

Пусть К = — векторный критерий, представляющий собой отображение К:АRⁱ; К(а) — векторная оценка альтернативы аА; Rⁱ — шкала, числовая система при условии, что R^I — множество всех действительных чисел. Тогда общая задача векторной оптимизации может быть сформулирована следующим образом:

(2.3)

где opt — оператор оптимизации, определяющий семантику оптимальности.

Решением задачи (2.3) является множество

Вследствие того, что, как правило, множество D пусто, оценка сложных систем в условиях определенности на основе методов векторной оптимизации проводится в три этапа.

На первом этапе с использованием системного анализа определяются частные показатели и критерии эффективности. На втором этапе находится множество Парето формулируется задача многокритериальной оптимизации в форме (2.3). На третьем этапе задача (2.3) решается путем скаляризации критериев устранения многокритериальности.

Принцип Парето. Постановка задачи оптимизации как поиск решения по критерию превосходства хотя и была признана некорректной, но помогла сформулировать понятие множества Парето как подмножество А* множества альтернатив А. Множество А* задается свойством его элементов

(2.4)

Смысл выражения (2.4) определяет принцип Парето, который состоит в следующем. Множество Парето А^* (переговорное множество, множество компромиссов) включает альтернативы, которые всегда более предпочтительны по сравнению с любой альтернативой из множества А\А^*. При этом любые две альтернативы из множества Парето по предпочтению несравнимы.

Несравнимыми называются альтернативы, если альтернатива а_i превосходит альтернативу а_j по одним группам критериев, а альтернатива а_j превосходит альтернативу а_i по другим группам. Выражение означает, что

(2.5)

и хотя бы одно из неравенств (2.5) является строгим.

Понятие множества Парето можно пояснить на примере. Пусть имеем задачу оптимизации по двум критериям , где у₁ и у₂ – показатели свойств системы (параметры), значения которых можем выбирать. Целью является выбор оптимальных (в данном случае минимальных) значений параметров.

Нарисуем область параметров и область критериев и определим между этими областями соответствие (рис. 2.10).

Считаем, что точка у₍₁₎ является строго предпочтительнее точки y₍₂₎, если и , причем хотя бы одно из неравенств должно быть строгим, т.е. переход в предпочтительную точку должен привести к одновременному уменьшению значений параметров по обоим критериям.

Путем переходов из одной предпочтительной точки в другую добиваемся улучшения значений показателей по обоим критериям. С выходом на «юго-западную» границу G_у достигаем множества Парето.

Возвращаться назад от границы этого множества нет смысла, поскольку предыдущие значения заведомо хуже. Выход за границу множества запрещен по условиям ограничений на значения у₁ и у₂.

Двигаясь по границе множества, нетрудно видеть, что в определенной области улучшение показателей по k₁ ведет к одновременному ухудшению показателей по k₂.

Множество точек этой области и есть множество Парето. Одновременная минимизация всех критериев в области Парето невозможна. Поиск решения должен осуществляться на основе какой-либо схемы компромиссного выбора решения.

Методы решения задач векторной оптимизации. Существует несколько методов решения задач многокритериальной оптимизации:

• метод выделения главного критерия;

• метод лексикографической оптимизации;

• метод последовательных уступок;

• человеко-машинные процедуры векторной оптимизации.

В методе выделения главного критерия ЛПР назначает один главный критерий, остальные выводятся в состав ограничений, т.е. указываются границы, в которых эти критерии могут находиться. Недостаток метода очевиден: нет смысла проводить глубокое системное исследование, если все критерии, кроме одного, не учитываются.

В методе лексикографической оптимизации предполагается, что критерии, составляющие векторный критерий К, могут быть упорядочены на основе отношения абсолютной предпочтительности. Пусть критерии пронумерованы так, что наиболее важному из них соответствует номер 1. Тогда на первом шаге выбирается подмножество альтернатив , имеющих наилучшие оценки по первому критерию. Если окажется, что , то единственная альтернатива, входящая в А₁, и признается наилучшей. Если , то на втором шаге выбирается подмножество альтернатив , имеющих наилучшие оценки по второму критерию, и так далее, до тех пор, пока не будет выявлена лучшая альтернатива.

При поиске решения задачи (2.3) в описанной процедуре, как правило, будут использоваться не все, а лишь наиболее важные критерии, что не всегда может быть оправдано.

Поэтому в методе последовательных уступок для каждого из проранжированных по важности критериев назначается допустимое отклонение значения критерия от наилучшего. Затем на первом шаге производится построение подмножества альтернатив , для которых отклонение оценки по первому критерию от его экстремального значения не превышает допустимого отклонения («уступки»). Далее строится подмножество , на основе второго критерия и его уступки и т.д. При этом уступки назначаются таким образом, чтобы было истинным высказывание

,

поскольку превращение множества А_j на каком-либо шаге j<1 в одноэлементное или пустое приводит к невозможности оптимизации по остальным I-j критериям. Заметим, что если допустимое отклонение для всех компонентов векторного критерия положить равным нулю, то метод последовательных уступок превратится в метод лексикографической оптимизации.

Достоинством человеко-машинных процедур векторной оптимизации является сочетание возможностей ЭВМ по быстрому проведению больших расчетов и способностей человека к восприятию альтернатив в целом, без длительного изучения и сравнения их оценок по отдельным критериям. Общая схема этих методов состоит в следующем. Тем или иным способом ЛПР указывает свои предпочтения на множестве векторных оценок альтернатив. На основе полученной информации ЭВМ автоматически сужает исходное множество альтернатив, сообщая ЛПР по окончании процесса сужения наилучшие альтернативы. Затем ЛПР указывает допустимые уровни снижения оценок по одним критериям, требуемые более высокие уровни оценок по другим критериям, и ЭВМ вновь выполняет необходимые расчеты. Итеративный процесс продолжается до тех пор, пока не будет решена задача выбора альтернатив. В процессе решения поиск ведется среди элементов множества Парето.

Методы свертывания векторного критерия в скалярный. В этих методах первоначальная задача заменяется задачей

,

где k(a) — скалярный критерий, представляющий собой некоторую функцию от значений компонентов векторного критерия:

.

Основной проблемой этого подхода как раз и является построение функции f называемой сверткой. Данная проблема распадается на четыре задачи:

1. Обоснование допустимости свертки.

2. Нормализация критериев для их сопоставления.

3. Учет приоритетов (важности) критериев.

4. Построение функции свертки, позволяющей решить задачу оптимизации.

1.Обоснование допустимости свертки. Требует подтверждения, что рассматриваемые показатели эффективности являются однородными. Известно, что показатели эффективности разделяются на три группы: показатели результативности, ресурсоемкости и оперативности. В общем случае разрешается свертка показателей, входящих в обобщенный показатель для каждой группы отдельно. Свертка показателей из разных групп может привести к потере физического смысла такого критерия.

2.Нормализация критериев. Проводится подобно нормировке показателей.

3.Учет приоритетов критериев. Осуществляется в большинстве методов свертывания путем задания вектора коэффициентов важности критериев

,

где _i — коэффициент важности критерия k_i обычно совпадающий с коэффициентом значимости частного показателя качества.

Определение коэффициентов важности критериев, как и в случае с показателями, сталкивается с серьезными трудностями и сводится либо к использованию формальных процедур, либо к применению экспертных оценок.

В результате нормализации и учета приоритетов критериев вместо исходной векторной оценки К(а) альтернативы а образуется новая векторная оценка

,

где k_i(а) — нормированный критерий — находится аналогично нормированному показателю.

Именно эта полученная векторная оценка подлежит преобразованию с использованием функции свертки. Способ свертки зависит от характера показателей и целей оценивания системы. Известны несколько видов свертки. Наиболее часто используются аддитивная и мультипликативная свертка компонентов векторного критерия.

4.Аддитивнал свертка компонентов векторного критерия состоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде суммы взвешенных нормированных частных критериев:

, (2.6)

Такие критерии образуют группу аддитивных критериев. В них свертка основана на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев. Сформулируем суть этого принципа: справедливым следует считать такой компромисс, при котором суммарный уровень абсолютного снижения значений одного или нескольких показателей не превышает суммарного уровня абсолютного увеличения значений других показателей.

Главный недостаток аддитивных критериев состоит в том, что они не вытекают из объективной роли частных критериев в определении качества системы и выступают поэтому как формальный математический прием, придающий задаче удобный вид. Кроме того, низкие оценки по одним критериям могут компенсироваться высокими оценками по другим критериям. Это значит, что уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия.

Мультипликативная свертка компонентов векторного критерия состоит в представлении обобщенного скалярного критерия в виде произведения:

, (2.7)

Мультипликативный критерий образуется путем простого перемножения частных критериев k_i возведенных в степени _i. Если все частные критерии имеют одинаковую важность, то _i=1. При разной важности критериев _i  1.

В мультипликативных критериях схема компромисса предполагает оперирование не с абсолютными, а с относительными изменениями частных критериев.

Правомочность мультипликативного критерия основывается на принципе справедливой относительной компенсации: справедливым следует считать такой компромисс, при котором суммарный уровень относительного снижения значений одного или нескольких критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

В математической форме такое условие оптимальности имеет вид

, (2.8)

где k_i(a) – приращение величины i-го критерия,

k_i(a) – первоначальная величина i-го критерия.

Полагая , можно представить сумму (2.8) как дифференциал натурального логарифма, тогда

. (2.9)

Из выражения (2.9) следует, что принцип справедливой относительной компенсации приводит к мультипликативному обобщению критерия оптимальности.

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировки частных критериев. Недостатки критерия: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений частных критериев.

Выбор между аддитивной и мультипликативной свертками частных критериев определяется степенью важности абсолютных или относительных изменений значений частных критериев соответственно.

Кроме свертки векторного критерия в теории векторной оптимизации особое место занимает принцип компромисса, основанный на идее равномерности.

Если из существа задачи следует полная недопустимость компенсации значений одних показателей другими, т.е. требуется обеспечить равномерное подтягивание всех показателей к наилучшему уровню, то используют агрегирующую функцию следующего вида:

. (2.10)

Такой показатель используется в задачах планирования по «узкому месту».

Общим случаем функции свертки (агрегирования, осреднения) является средняя степенная функция:

, (2.11)

где показатель степени р отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных показателей большими значениями других показателей (чем больше р, тем больше степень возможной компенсации).

Например, если (не допускается никакая компенсация и требуется равномерное подтягивание), то агрегирующая функция (2.11) дает результаты, совпадающие со значениями (2.10); если р0 (т е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней частных показателей), то в пределе будет совпадение значений (2.11) и (2.7). При р = 1 будет совпадение значений (2.11) и (2.6). Во всех этих случаях .

Если из существа задачи следует, что одни показатели желательно увеличивать, а другие уменьшать, то иногда используют функцию агрегирования в виде отношения одних показателей к другим, например:

где i=1,2,…,m_I — номера показателей, значения которых желательно увеличивать, а i=m_I+1,m_I+2,…,I — уменьшать.

Часто первая группа показателей отождествляется с целевым эффектом, а вторая — с затратами на его достижение. При этом показатели не должны быть однородными.

Рассмотренные группы методов предоставляют широкие возможности для анализа многокритериальных оценок в целях выбора наилучшей альтернативы, ранжирования альтернатив и т.д. Однако условия применимости тех или иных методов вследствие эвристического характера последних не могут быть четко сформулированы. От этого недостатка свободна группа методов, основывающихся на аксиоматическом подходе к принятию решений — теории полезности.