4. 3. Имитационный метод моделирования броуновских траекторий

1. Теоретическое введение. Броуновским движением называется наблюдающееся под микроскопом непрерывное, хаотическое движение мелких частиц, взвешенных в жидкости или газе.

Хаотическое движение небольших частиц обусловлено флуктуациями давления, производимого на частицы молекулами жидкости или газа. Броуновские частицы испытывают сравнительно небольшое число столкновений с молекулами среды за единицу времени и действующие на них силы не уравновешиваются.

Первые наблюдения за движением частиц, взвешенных в жидкости, были сделаны в 1827 году английским ботаником Р. Броуном. Важнейшими особенностями броуновского движения являются:

• неограниченно долгое продолжение движения без каких-либо видимых изменений;

• интенсивность движения зависит от размеров броуновских частиц, но не от их природы;

• интенсивность движения возрастает с ростом температуры и уменьшением вязкости жидкости.

Закономерности броуновского движения были подробно изучены А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Оказалось, что среднее смещение броуновской частицы вдоль произвольного направления равно нулю. В то же время средняя величина квадрата смещения пропорциональна времени наблюдения над частицей:

, (4.31)

где - коэффициент диффузии броуновских частиц, который для шарообразной частицы равен

, (4.32)

где - число Авогадро, - коэффициент вязкости жидкости, - радиус частицы. Пользуясь формулой

, (4.33)

можно из результатов наблюдений за поведением броуновской частицы определить постоянную Больцмана и Авогадро.

2. Построение имитационной модели. Задача имитационного моделирования движения броуновской частицы состоит в определении квадрата смещения за равные промежутки времени.

Смещение броуновской частицы можно определить разными способами. Рассмотрим самый простой из них. Промежуток времени Т_к, в течение которого мы хотим определить смещение, разделим на N равных частей, т.е.

. (4.34)

Значения разыгрывают последовательно по формуле

. (4.35)

В каждый момент времени находим квадрат и среднее от квадрата, т.е. среднюю величину квадрата смещения. Здесь _i нормально распределенные случайные величины с дисперсией, равной единице, с математическим ожиданием, равным трем, т.е. определенные по закону

. (4.36)

Будем считать, что движение броуновской частицы происходит в двухмерной плоскости. Тогда направление изменения траектории можно разыграть по формуле

, (4.37)

где _i – эталонное случайное число в интервале [0,1]. Розыгрыш направления дает нам возможность определения декартовых координат броуновской частицы , в каждый момент времени. Координаты частицы могут быть определены по алгоритму

(4.38)

При усложнении модели, т.е. если движение броуновской частицы происходит в трехмерной области, то можно использовать методику определения направления рассеяния по параграфу 3.1.4 или по алгоритмам (1.45-1.47).

3. Задания на моделирование:

1. Составить программу для определения траектории броуновской частицы .

2. Построить траекторию движения броуновской частицы.

3. Провести моделирование движения броуновской частицы в зависимости от реальных параметров среды.

4. Определить постоянную Больцмана из результатов моделирования.

Результаты моделирования траектории движения броуновской частицы представлены на рис.4.5

Рис. 4.5