2. Основні закони логіки.

У логіці за традицією визнають існування чотирьох основних законів: тотожності, заборони суперечності, виключеного третього і достатньої підстави. Перші три закони сформулював Аристотель, четвертий – німецький вчений і філософ Г.Лейбніц.

а) закон тотожності

Закон тотожності формулюється наступним чином: кожна думка (і її елементи) повинна залишатися незмінною у процесі одного і того ж самого міркування. Даний закон забороняє підміну понять у процесі міркування, а також багатозначність у науковій термінології.

Даний закон також можна сформулювати із використанням логічної символіки: «АА» (читається: «Якщо А, тоді А»,), наприклад, «якщо ми знаходимося в Києві, тоді ми знаходимося в Києві»; «АА» (читається: «Якщо і тільки якщо А, то А»), наприклад, «якщо і тільки якщо сьогодні вівторок, то сьогодні другий день тижня».

Можна навести табличне логіко-математичне визначення даного закону:

А	~А	АА	АА
І	Х	І	І
І	Х	І	І

Об’єктивною основою даного закону є те, що кожний предмет є тотожним самому собі (Г.Фреге стверджував, що розуміти дві речі як тотожні можна лише тоді, коли ми маємо один і той самий предмет, який по-різному називаємо). Але, крім того, і різні предмети можна у певній мірі ототожнювати, якщо вони мають спільні властивості. Наприклад, якщо людина знає, що таке вікно, то вона зможе порахувати кількість вікон в аудиторії. Таким чином, даний закон є фундаментальним для математики, особливо для теорії множин.

б) закон заборони суперечності

Другий закон логіки також часто називають: «законом суперечності» або «законом несуперечності». Краще називати його законом заборони суперечності, оскільки саме це складає його сутність. Закон заборони суперечності можна сформулювати (вслід за Аристотелем) наступним чином: «Два судження, в одному з яких ми щось стверджуємо, а в іншому те ж саме, в той же самий час, в тому ж самому відношенні заперечуємо не можуть бути одночасно істинними і одночасно хибними.»

Часто плутають логічну суперечність (контрадикторність) і логічну протилежність (контрарність). Наприклад, маємо наступне судження: 1. «Всі люди – поети». Це судження, очевидно, є хибним. Контрарним даному судженню буде наступне: 2. «Всі люди – не поети», яке також є хибним. Контрадикторним судженню 1. буде наступне: 3. «Не вірно, що всі люди – поети». Судження 3. на відміну від судження 2. є істинним.

Даний закон має логіко-математичний запис: «~(А~А)» (читається: «Невірно, що може одночасно бути А і не-А»), наприклад, «невірно, що одночасно сьогоднішній день може бути суботою і несуботою». Представимо табличне визначення даного закону:

А	~А	А~А	~(А~А)
І	Х	Х	І
І	Х	Х	І

Даний закон має надзвичайно велике значення в практичній життєдіяльності людей. На дії цього закону, наприклад, ґрунтується юридичний принцип алібі. Якщо доведено, що підозрюваний, під час скоєння злочину знаходився не на місці злочину, а в іншому, то цим автоматично доводиться, що даний підозрюваний є невинним.

Якщо у наших знаннях з’являються суперечності, це означає, що ці знання неадекватно відображають дійсність і їх необхідно переглянути.

в) закон виключеного третього

Закон виключеного третього можна сформулювати наступним чином: «Із двох суперечливих суджень, одне завжди буде істинним, друге завжди буде хибним, а третього бути не може». Інакше кажучи, якщо певне судження є істинним, то заперечення даного судження буде хибним і, навпаки, якщо певне судження є хибним, то заперечення даного судження буде істинним. Даний закон має логіко-математичний запис: «А~А» (читається: «А або невірно, що А»), наприклад, «Ірпінь є містом Київської області, або невірно, що Ірпінь є містом Київської області».

Представимо табличне визначення цього закону:

А	~А	А~А
І	Х	І
І	Х	І

Ми бачимо, що у його формулюванні використовується сполучник строгої диз’юнкції, тобто альтернативи виключають одна одну.

Даний закон використав Евклід для побудови своєї геометрії. Істинність теорем доводилась наступним чином: спочатку висувалось певне припущення 1 (теорема), потім робилось припущення, що судження 1 було невірним, а, натомість, вірним є судження 2, яке заперечувало судження 1. У результаті певних міркувань доводили, що судження 2 суперечить доведеним раніше положенням і тому є хибним. Тим самим Евклід доводив, що істинним є судження 1.

г) закон достатньої підстави

Закон достатньої підстави був сформульований Г.Лейбніцем наступним чином: 1) «Ніщо не відбувається без причини, тобто повинна існувати необхідна причина, чому існує саме це, а не інше», або 2) «Жодне твердження не може виявитися істинним чи справедливим без достатньої підстави, чому справа відбувається саме таким, а не іншим чином, хоча у більшості випадків ці підстави полишаються для нас невідомими».

Фактично цей закон є правилом, яке ми можемо сформулювати наступним чином: «Будь-яке судження повинне мати достатню підставу, внаслідок якої воно оцінюється як істинне, а не як хибне». Прикладом дії цього закону може слугувати ситуація, коли людину просять назватися, а потім надати документ, який засвідчує особу.

Даний закон не має простої логіко-математичної формули, як попередні. Іноді стверджують, що даний закон взагалі не можливо формалізувати. Але таке твердження не відповідає дійсності. Цей закон можна формалізувати у логіці предикатів другого порядку, яку ми не розглядаємо у межах пропонованого курсу.

Окрім розглянутих вище чотирьох основних законів, у логіці існує необмежена кількість інших законів, які називаються логічними тавтологіями (завжди істинними судженнями; судженнями, що є істинними завдяки своїй формі). Серед таких законів є «закон подвійного заперечення» (цей закон має чотири формули: «~~АА», «А~~А», «~~АА» та «А~~А»); закони де Моргана («A(AB)A», «A(AB)A», «~(AB)~A~B» та «~(AB)~A~B»); закони комутативності («ABBA» та «ABBA»); закони дистрибутивності («A(BC)(AB)(AC)» та «A(BC)(AB)(AC)»); закон контрапозиції («A→B~B→~A»); закони ідемподентності («AAA» та «AAA»); асоціативності («A(BC)(AB)C» та «A(BC)(AB)C») та ін.

Окрім тавтологій існують також суперечливі (завжди хибні) і виконувані (можуть бути істинними і хибними, залежно від певного набору істиннісних значень елементарних суджень, що входять до їх складу) судження. Для того, щоб пересвідчитись, чи є те або інше судження тавтологією, суперечністю або виконуваним, необхідно вирішити його методом таблиць істинності.

Наприклад, спробуємо вирішити наступні судження: 1) (~А~В)(АВ); 2) (А~А)(В~В); 3) (~А~В)(АВ). Побудуємо для них відповідні таблиці істинності:

Таблиця для (~А~В)(АВ):

А	В	(~А		~В)		(А		В)
І	І	Х	І	Х	І	І	І	І
І	Х	Х	І	І	І	І	Х	Х
Х	І	І	Х	Х	І	Х	І	І
Х	Х	І	І	І	І	Х	І	Х

Таблиця для (А~А)(В~В):

А	В	(А		~А)		(В		~В)
І	І	І	І	Х	Х	І	Х	Х
І	Х	І	І	Х	Х	Х	Х	І
Х	І	Х	І	І	Х	І	Х	Х
Х	Х	Х	І	І	Х	Х	Х	І

Таблиця для (А~В)(В~А):

А	В	(А		В)		(В		~А)
І	І	І	Х	Х	І	І	Х	Х
І	Х	І	І	І	Х	Х	Х	Х
Х	І	Х	Х	Х	І	І	І	І
Х	Х	Х	Х	І	Х	Х	Х	І

Таким чином, вирішивши ці судження за допомогою методу таблиць істинності, ми переконались, що судження 1) (~А~В)(АВ) є законом логіки (тавтологією); судження 2) (А~А)(В~В) є суперечністю; а судження 3) (А~В)(В~А) є виконуваним.