Вопрос 2

1. Цикломатическое число графа — минимальное число ребер, которые надо удалить, чтобы граф стал ациклическим.

2. Рассмотрим каркас  графа .  — все ребра графа , которые не входят в каркас . При добавлении e_i образуется простой цикл . Семейство циклов называется фундаментальными циклами графа  относительно каркаса 

Билет 15

Вопрос 1

1. Гру́ппа  — непустое множество с определённой на нём бинарной операцией, удовлетворяющей указанным ниже аксиомам. Группы являются важными инструментами в изучении симметрии во всех её проявлениях. Примерами групп являются вещественные числа с операцией сложения, множество вращени плоскости вокруг начала координат и т. п.

2. Решётка в теории множеств — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю , так и точную нижнюю грани;

3. Определение. Множество R с двумя определенными в нем алгебраическими операциями, сложением и умножением, называется кольцом, если относительно операции сложения оно является абелевой группой, а операция умножения дистрибутивна,

Вопрос 2

1. Дерево — связный граф, не содержащий циклов.

Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.

2. Пусть G — произвольный (n, m)-граф с k компонентами связности. Если G — не лес, то в нем (его компонентах связности) существуют циклы. Рассмотрим какой-либо цикл и удалим из него некоторое ребро. При этом количество компонент связности не увеличится. Если после этого еще останутся циклы, то рассмотрим следующий из них и снова удалим какое-либо его ребро. Продолжим этот процесс до тех пор, пока не исчезнут все циклы. Полученный в результате подграф, который, очевидно, является лесом и имеет столько же компонент связности, как и исходный граф G, называется остовом графа G.

Билет 16

Вопрос1

1. Булево й решеткой называется дистрибутивная решетка с дополнением (с дополнением значит что решетка обладает универсальными границами О , I в которых элемент а имеет хотя бы одно дополнение х.

Вопрос 2

1. Полный граф — простой граф, в котором каждая пара различных вершин смежна. Полный граф с n вершинами имеет n(n − 1) / 2 рёбер и обозначается K_n.

2. В теории графов дополнением или обратным к графу G называется такой граф H, имеющий то же множество вершин, что и G, но в котором две несовпадающие вершины смежны тогда и только тогда, когда они не смежны в G. Чтобы найти обратный граф, дополните данный граф до полного и удалите все ребра, которые уже были до этого

3. Теорема Рамсея — теорема комбинаторики, открытая Франком Рамсеем, встречающаяся в литературе в нескольких формулировках:

Пусть p, q и r — натуральные числа, причем . Тогда существует число , обладающее следующим свойством: если все r-элементныеподмножества N-элементного множества S произвольным образом разбиты на два непересекающихся семейства α и β, то либо существует p-элементное подмножество множества S, все r-элементные подмножества которого содержатся в α, либо существует q-элементное подмножество, все r-элементные подмножества которого содержатся в β.

Для любых натуральных чисел N, K любой достаточно большой полный граф, ребра которого раскрашены в N цветов, содержит одноцветный полный подграф с K вершинами.

4. Клика — полный подграф неориентированного графа. Другими словами, клика графа есть подмножество его вершин, такое, что между каждой парой вершин этого подмножества существует ребро и, кроме того, это подмножество не принадлежит никакому большому подмножеству с тем же свойством.

Билет 17

1. Булевым кольцом называют кольцо, в котором все элементы идемпотентны (коммутативность, наличие единицы или делителей нуля не требуется).

2. Интересной особенностью булевых колец является то, что

3. 

в частности, при , то есть булево кольцо всегда имеет характеристику два, а также, учитывая это

4. 

то есть булево кольцо всегда коммутативно.