31.Функционально-замкнутые классы. Классы t0,t1,s,l,m. Теорема Поста(доказательство по необходимому признаку). Док-ва у меня нет

Функционально замкнутые классы:

-класс(множ К)булевых функций называется функционально-замкнутым, если вместе _ из этого класса он содержит и все эл суперпозиции.

Пример: класс тождественных функций содержащий f(x)=X

Утверждение: Никакая полная система булевых функций не может содержаться в функционально-замкнутом класса, отличным от класса k1 булевых функций.

Рассмотрим следующие функции:

1.T0 - класс функций, сохраняющих ноль. Эти ф-ции удовлетворяют условию f(0,0,...,0)=0

2.T1 - класс функций, сохраняющих единицу, т.е. удовлетворяют f(1,1,...1)=1

x1∼x2∉Т0 x1∼x2∈Т1

x1+x2∈Т0 x1+x2∉Т1

Возьмем f1(x1,x2,...,xn)∈Т0 f2(x1,x2,...,xn)∈Т0

Составим эл. суперпозицию f1(x1,...,xi-1,f2(x1,..,xn),xi+1,...,xn) ∈Т0

Аналогично для класса Т1

3.S - класс самодвойственных функций

О:Функция f(x1,...,xn) называется самодвойственной, если f(x1,...,xn) =f*(x1,...,xn) выполняется; f*(x1,...,xn) = ¬f(¬x1,...,¬xn)

{Пример (это чтобы вы въехали, а не учить): Рассм функцию f(x1,x2,x3)=x1+x2+x3. Докажем её самодвойственность - f*(x1,x2,x3)= ¬f(¬x1,¬x2,¬x3) =¬x1+¬x2+¬x3= x1+1+x2+1x3+1+1= x1+x2+x3}

Класс самодвойственных функций функционально-замкнут:

пусть f1,f2∈S, но тогда f*1,f*2 совпадают f*1=f1, f*2=f2 Φ*=Φ∈S

4. L - класс линейных функций.

О: функция f(x1,x2,...,xn) называется линейной, если она равна:

f(x1,x2,...,xn)=a1x1+a2x2+...+anxn ai∈{0,1}

пример: X+Y∈L; 0∈L;1∈L,X•Y∉L

Утверждение: класс линейных функций функционально замкнут.

Возьмем f1(x1,...,xn)∈L=a1x1+...+anxn

f2(x1,...,xn)∈L=b1x1+...+bnxn

Составим суперпозицию:f1(x1,...,xi-1,f2(x1,...,xn),xi+1,...xn)=a1x1+...ai-1xi-1+ai(b1x1,...,bnxn)+ai+1bi+1+anxn=c1x1+c2x2+...+cnxn

5. M - класс монотонных функций

O: функция f(x1,x2,...,xn) называется монотонной если для всех оценок α и β списка переменных (x1,...,xn), таких что αПβ, имеем f(α)≤f(β)

αПβ - отношение предшествования П - αПβ выполнено тогда и только тогда, когда αi≤βi для всех i. Здесь α=< α1, α2,..., αn>∈On; β=<β1, β2,..., βn>∈On, а On=<x1,...,xn> - мн-во оценок списка переменных.

Пример: α=< 0,1,0,1>; β=<0,1,1,1>. Здесь αПβ, т.к. 0≤0; 1≤1; 0≤1; 1≤1;

у отношения предшествования всегда выполнена рефлексивность, антисимметричность, транзитивность.

Утверждение: класс М функционально замкнут.

Пример монотонной функции:

x1	x2	x1&x2	x1∨x2	x1⊃x2
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	1
		монотонные		немонотон

Теорема Поста : Для того чтобы система булевых функций {f1,f2,...,fn} была полной, необходимо и достаточно чтобы для каждого из классов T0, T1, S, L, M нашлась функция fi из системы функций непринадлежащих этому классу.