21. Двойственность. Закон двойственности. Пример.

Замечание: будем рассматривать формулы, которые содержат только логические связки ͞, V, &

Связки V, & назовем двойственными друг к другу. Формулы А и А˟ называются двойственными, если одна получена из другой одновременной заменой связок V, & на двойственную к ним.

Утверждение:)

– высказывательная переменная (или отрицание высказ. Переменной)

Закон двойственности

Если формулы А и В равносильны, то и двойственные к ним А˟ и В˟ равносильны тоже.

А=В => А*=В*

Пример.

А= ( ͞х₁&х₂& х₃)V(х₁ & ͞х₂) V х₃

А*= ( ͞х₁Vх₂V х₃)&(х₁ V ͞х₂) & х₃

22. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Выполнимость и опровержимость формул. Пример. Правильные рассуждения.

Пусть формула А зависит от списка переменных <х₁, … , х_n>

Формула А называется тождественно-истинной (ложной), если на любых оценках списка переменных формула А принимает значение И (Л).

Формула А называется выполнимой (опроверженной), если существует такая оценка списка переменных , на которой формула А принимает значение И(Л).

1)АV ͞А

2)А>A

3)A>(B>A)

4)A~A

5)((A>B)&A)>B

6)((A>B)& ͞B)> ͞A

7)((A>B)&(B>C))>(A>C)

8)(A>B)~( ͞B > ͞A)

23. Отношение логического следования. Правильные рассуждения. Примеры.

Пусть формулы А и В зависят от списка переменных <х₁, … , х_n>. Говорят, что формула В логически следует из формулы А тогда, когда их импликация – тождественная формула.

А | = В <=>A>B = И

Замечание:

1)Если В| = А, то говорят, что В выводима из А (А|- В), А\В)

2)Тождественно-истинная формула всегда выводима.

Правильные рассуждения.

В рассуждения, выводя одно высказывание из другого, мы пользовались законами логики. Тождественно истинные формулы логики высказываний выражают законы логики. Разумеется законы логики выражающиеся средствами логики высказываний не исчерпывают все законы логики использующиеся в рассуждениях. Законы логики высказываний могут служить основой лишь для тех выводов, в которых учитывается структура элементарных высказываний. Отвлекаясь от такого рассуждения, т.е. заменяя в нём элементарные высказывания высказывательными переменными мы получаем следующую схему вывода(умозаключения):

24. Нормальные формы формул. Приведение к днф и кнф.

Элементарная & и V. Элементарная &(V) называется &(V) формул, каждая из которых есть либо высказывательная переменная, либо отрицание высказывательной переменной.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формы называется равносильная ей форма, состоящая из конъюнкций (&) элементарных дизъюнкций (V).

ДНФ данной формулы называется равносильная ей формула, состоящая из V элементарных &.

Алгоритм приведения формулы к ДНФ и КНФ.

1.Используя А~В=(А>B)&(B>A) избавляемся от эквиваленции.

2.Используя A>B= ͞A V B избавляемся от импликации.

3. преобразовываем формы к виду

͞(͞A&B)*вся скобка под отрицанием* = ͞A V ͞B

͞(͞AVB)*вся скобка под отрицанием* = ͞A & ͞B

͞͞А*двойное отрицание*=А

4.Применяя законы дистрибутивности находим ДНФ и КНФ

АV(B&C)=(AVB)&(AVC) – КНФ

А&(BVC)=(A&B)V(A&C) – ДНФ