28.Представление булевых функций формулой логики высказываний в сднф и в скнф. Примеры.

Рассм кортеж из нулей и единиц <ε1,ε2,...,εn>

Xiεi = xi, если εi=1; ¬xi, если εi=0; Xiεi = 1 тогда и только тогда, когда Xi = εi;

Теорема(о разложении булевой ф-ции): каждая булева функция f(x1,x2,...,xn) (n≥1), не равная тождественно нулю может быть представлена в виде:

f(x1,x2,...,xn)=∨i=12^n(&j=1nXεij&f(εi1, εi2,..., εin)) причем различным значениям i соответствуют различные кортежи < εi1, εi2,...,εin))

Следствие: любая булева функция представима в СДНФ, т.е. в виде

f(x1,x2,...xn)= ∨(Xεi11& Xεi22&... Xεinn), где

<εi1,εi2,...,εin> - оценка

<f(εi1,εi2,...,εin)> - значение оценки

Замечание: Аналогично доказывается теорема о представлении булевой функции в виде:

&i=12^n(∨j=1nxj1-εij∨f(εi1,εi2,...,εin))

следствием из которой является формула

&(x11-εi1∨x21-εi2∨...xn1-εin), где

<εi1,εi2,...,εin>

f(εi1,εi2,...,εin) =0

Рассм пример булевой функции и найдем СДНФ и СКНФ

Для СДНФ - выделяем участки списка, где функция приняла значение 1

f(x1,x2)=(¬x1&¬x2)∨(¬x1&x2)∨(x1&x2) - СДНФ

Для СКНФ - берем оценку и вычитаем из единиц 11-10=01, возводим в степень оценки(более подробно см семинар 8-ое задание)

f(x1,x2)=¬x1∨x2 - СКНФ

К слову f(x1,x2)=x1⊃x2

29. Полные системы булевых функций. Теорема о сведении полноты одной системы булевых функцийк другой. Примеры полных систем.

О: Система булевых функций {f1,f2,...,fm} из множества всех булевых функций называется полной, если любая булева функция может быть выражена через функции с помощью суперпозиций (подстановки функций в функцию)

k0={f1(x1,....,xn),f2(x1,...,xn),....,fm(x1,...xn)}

Функция f называется суперпозицией ранга 1(элементарной суперпозиций) функции f1,...,fm, если f может быть получено одним из след. способов:

1) из какой нибудь функции fi, переименованием переменной xj.

f(x1,x2,...,xj,...xn)

2) подстановкой некоторой функции fl, где l=1,2,...,n вместо какого нибудь аргумента xj, взятого из множества k0

f(x1,x2,...,fl(x1,...,xn),...xn)

Суперпозиция ранга 1 образует класс функций k1. Суперпозиция ранга r образует класс функций kr. Класс kr строится с помощью элементарных суперпозиций над классом kr-1

Суперпозициями функциями из k0 называются функции входящие в один из классов k0,k1,k2,...,kr.

Теорема: Пусть даны 2 системы булевых функций:

1) F={f1,f2,...fm) ①

2) G={g1,g2,...,gl) ②

относительно которых известно, что 1ая система полна и каждая её функция fi выражается через функции системы ② в виде формулы, тогда и вторая система полна.

z=z(f1,f2,...,fm)=z(f1(g1,...,gl),...fm(g1,....,gl))=R(g1,...,gl)

Примеры

1. { ¬,&} - испытуемая ②

{¬,∨,&} - ①

Выразим x1∨x2=¬¬(x1∨x2)=¬(¬x1&x2)

2. {¬, ∨} ②

x1&x2=¬¬(x1&x2)=¬(¬x1∨x2)

{∨,&} - не выйдет

3. {|} - ②

{¬,&} - ①

¬x=x|x

x1&x2=¬(x1|x2)|(x1|x2)

30. Полнота системы {+, ∙ , 1}. Многочлены Жегалкины. Приведение любой булевой функции к многочлену жегалкина.

{+, ∙ , 1}, где ∙=&

О: Булевы функции записанные в этой системе в виде многочлена называются многочленами Жегалкина.

Приведение произвольной булевой функции к многочлену Жегалкина производится на основе правил обычной алгебры:

1) Законы коммутативности

x1+x2=x2+x1;

x1∙x2=x2∙x1;

2) Законы асоциативности

x1+(x2+x3)=(x1+x2)+x3

x1(x2∙x3)=(x1∙x2)x3

3) x1(x2+x3)=x1x2+x1x3 - закон дистрибутивности

4) 0+х=х

5) 0∙х=0

6) 1∙х=х - действие с единицей

и двух специальных правил:

7) х+х=0

8) х∙х=х

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ ЖЕГАЛКИНА.

1 способ

1. Преобразуем булеву функцию в булеву функцию заданную в системе {¬,&}

2. Заменяем ¬х=х+1, &=∙

3. Применяем 8 правил алгебры Жегалкина, находим его многочлен.

2 способ

1. Находим СДНФ

2. Заменяем дизъюнкцию на f=∑⊕(x1εi1∙....∙xnεin)=Fi+Φi^

3. Применяем 8 правил и находим многочлен Жегалкина

Пример 1-ого способа:

x1∨x2=¬¬(x1∨x2)=¬(¬x1&¬x2)=(x1+1)(x2+1)+1=x1x2+x2+x1+1+1=x1x2+x1+x2.

Пример 2-ого способа:

х1∨х2=(¬x1&x2)∨(x1&¬x2)∨(x1&x2)=(¬x1&x2)+(x1&¬x2)+(x1&x2)=(x1+1)x2+x1(x2+1)+x1x2=x1x2+x2+x1x2+x1+x1x2=x1x2+x2+x1