35.Понятие интерпретации. Равносильность и общезначимость формул логики предикатов. Приведенная нормальная формула логики предикатов. Проблема разрешимости. Формулировка теоремы Черча.

ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Формулы имеют смысл тогда и только тогда, когда заданна какая-нибудь интерпретация входящих в неё символов.

О: Под интерпретацией будем понимать: всякую систему, состоящую из некоторого множества М, названного областью интерпретации и какого-либо соответствия, относящего к каждому символу предиката Pi, определенный и местный предикат.

Замечание: при заданной интерпретации мы считаем, что предметные переменные пробегают множество М, символы ¬, ∨, &, ⊃, ∼, ∀, ∃ имеют свой обычный смысл.

Для данной формулы интерпретации каждая формула без свободных переменных представляет собой высказывание, которое истинно или ложно. А всякая формула со свободными

переменными выражает некоторый предикат на обл интерпретации, который истинен на одних значениях предметных переменных из обл. интерпретации и ложен на других.

РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Рассм две формулы F и G, у них одно и тоже мн-во свободных переменых.

О1: Формулы F и G равносильны данной интерпретации, если на любом наборе значений свободных переменных они принимают одинаковые истиностные значения(т.е. если формулы выражают в данной интерпретации один и тот же предикат).

О2: Формулы F и G равносильны на множестве M, если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве М.

О3: Формулы F и G равносильны (в логике предикатов), если они равносильны во всех множествах.

Обозначение: F≡G

ОБЩЕЗНАЧИМОСТЬ. ВЫПОЛНИМОСТЬ.

Рассм некоторую интерпретацию с областью М.

О1: Говорят, что формула А выполнима в данной интерпретации, если существует набор <a1,a2,...an>, где ai∈M, значений свободных переменных Xk1,Xk2,...,Xkn формула А таких что A|<a1,...,an>=И на этом наборе.

О2: Говорят, что формула А истина в данной интерпретации, если она принимает значение i на любом наборе <a1,a2,...an> значений свободных переменных Xk1,Xk2,...,Xkn

О3: Говорят, что формула А общезначима или тождественно-истинна(в логике предикатов), если она истинна в каждой интерпретации.

О4: Говорят, что формула А выполнима(в логике предикатов), если существует интерпретация в которой она выполнима.

Примеры общезначимых формул:

1) тождественно-истинные формула логики высказываний.

2) ∀xA(x)⊃A(y)

3) A(x)⊃∃yA(y)

Для доказательства, что формула истинна используется второй способ из девятого задания курсовой.

РАЗРЕШИМОСТЬ

Замечание: задача распознавания общезначимых формул логики предикатов существенно сложнее, чем для логики высказываний. Она носит название проблемы разрешимости. В логике высказываний эта проблема была решена. В логике предикатов эта проблема не разрешима.

Т.Черча: Не существует алгоритма, который для любой формулы логики предикатов устанавливал общезначима она или нет.

Замечание: Однако эта проблема разрешима в логике одноместных предикатов(в логике, созданной Аристотелем).

ПРИВЕДЕННЫЕ ФОРМУЛЫ.

О: Формулы в которых из логических символов встречается ¬, ∨, &, а символ ¬ встречается только перед символом атамарного предиката называется приведенной.

Примеры приведенных формул:

1) А(x1,x2)∨A(x1,x3)

2) ∀хA(x,y)∨∃xA(x,y)

3) ¬(A(x,y)⊃B(x,y)) - не может быть приведенной.

Т1: Для любой формулы существует равносильная ей приведенная формула. Причем множество свободных и связанных переменных совпадает.

О: Приведенная формула называется нормальной, если она не содержит символов кванторов или все символы кванторов стоят впереди.

Т2: Для любой приведенной формулы существует равносильная ей нормальная формула.

Т3: Для любой формулы существует равносильная ей нормальная формула.