- •1. Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна.
- •3. Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями.
- •4. Понятие функции. Инъективные, биективные, суръективные функции. Композиция и обращение функций.
- •5. Бинарные отношения на множестве х. Рефлексивность, симметричность, транзитивность бинарных отношений на множестве х.
- •6. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.
- •7. Разбиение множества. Теорема о связи между отношением эквивалентности на множестве и разбиением множества.
- •8. Отношение порядка. Частичный и линейный порядок. Упорядоченные множества.
- •9. Мощьность множества. Счётные множества. Несчётные множества. Теорема Кантора.
- •10. Понятие нечёткого множества. Виды и некоторые свойства нечётких множеств. Способы задания нечётких множеств.
- •11.Функции принадлежности нечётких множеств и методы их построения.
- •12.Равенство нечётких множеств. Нечёткое подмножество.
- •13. Операции с нечёткими множествами. Некоторые дополнительные операции над нечёткими множествами.
- •15. Определение нечёткого отношения. Виды нечётких отношений. Способы задания нечётких отношений.
- •16. Равенство нечётких отношений. Нечёткое доминирование. Операции с нечёткими отношениям.
- •17. Свойства бинарных нечётких отношений заданных на базисном множестве х.
- •18.Высказывания. Логические операции. Язык логики высказываний. Формулы логики высказывания.
- •20. Формулы логики высказываний. Равносильность формул логики высказываний. Основные равносильности.
- •21. Двойственность. Закон двойственности. Пример.
- •22. Тождественно-истинные и тождественно-ложные формулы. Выполнимость и опровержимость формул. Пример. Правильные рассуждения.
- •23. Отношение логического следования. Правильные рассуждения. Примеры.
- •24. Нормальные формы формул. Приведение к днф и кнф.
- •25. Нормальные формы формул. Приведение к сднф и скнф.
- •26.Булевы функции. Теорема о представлении булевой функции формулой логики высказываний.
- •27. Булевы функции. Булевы функции двух переменных.
- •28.Представление булевых функций формулой логики высказываний в сднф и в скнф. Примеры.
- •29. Полные системы булевых функций. Теорема о сведении полноты одной системы булевых функцийк другой. Примеры полных систем.
- •31.Функционально-замкнутые классы. Классы t0,t1,s,l,m. Теорема Поста(доказательство по необходимому признаку). Док-ва у меня нет
- •32.Описание переключательных схем с помощью формул логики высказываний. Анализ, упрощение и синтез переключательных схем.
- •33.Понятие о проблеме минимизации булевых функций в классе днф.
- •34.Предикаты. Кванторы. Язык логики предикатов. Формулы логики предикатов. Равносильность и общезначимость формул логики предикатов. Основные равносильности.
- •35.Понятие интерпретации. Равносильность и общезначимость формул логики предикатов. Приведенная нормальная формула логики предикатов. Проблема разрешимости. Формулировка теоремы Черча.
- •36.Ориентированные и неориентированные графы. Основные понятия.
- •37.Матричное задание графа. Матрицы сложности и инциденций. Цикломатическая матрица.
- •38. Пути в графе. Цепи. Связные графы и компоненты связности.
- •39.Специальные пути в графе. Понятие о плоских графах.
- •40. Поиск путей в графе. Алгоритм Терри нахождения пути в графе. Алгоритм поиска пути минимальной длины(«фронта волны)
- •41.Алгоритм Форда и Форда-Беллмана нахождение минимального пути в нагруженном графе.
- •42.Деревья. Свойства деревьев. Цикломатическое число. Остовные деревья графа. Алгоритм нахождения остовного дерева.
- •43.Вектор-циклы. Пространство вектор циклов. Независимые циклы. Цикломатическое число. Алгоритм нахождения базис вектор-циклов.
- •44.Цикломатическая (контурная) матрица и матрица инциденций. Законы Киргофа. Уравнение контурных токов. Примеры.
- •45.Транспортные сети. Поток в сети. Полный и максимальный поток. Алгоритмы нахождения полного и максимального потока.
43.Вектор-циклы. Пространство вектор циклов. Независимые циклы. Цикломатическое число. Алгоритм нахождения базис вектор-циклов.
О: вектор С(μ)∈Zn – называется вектор-циклом соответствующим циклу μ если i- координаты Сi(μ) вектора С(μ) равны разности Сi+(μ) - Сi-(μ) где Сi+ - число проходов в цикле μ через ребро qi в направлении выбранной ориентации, Сi- - число проходов в цикле μ через ребро qi в противоположном направлении выбранной ориентации.
- множество всех векторов-циклов графа G.
С(μ)-соответствуют циклу μ выражается в виде линейной комбинации через другие вектора циклы.
С(μ)=α1 С(μ1)+ α2С(μ2)+ ……………………+ αmС(μm) (1)
Где α1 ∈Q (множество рациональных чисел)
Коэффициент αi коэффициент линейного разложения вектор цикла С(μ) по вектор-циклам С(μ1)……………………+ С(μm)
Теорема1: Если при некоторых α1…………………… αm справедливо равенство (1) для некоторой выбранной ориентации ребер то равенство (1) остается справедливы и при любой другой ориентации.
О: цикл μ называется суммой циклов μ1 и μ2 при этом μ= μ1 + μ2 если их вектор-циклы удовлетворяют условию : С(μ)=С(μ1)+ С(μ2)
О: о двух циклах μ1и μ2 говорят что μ1= αμ2 если С(μ1)= αС(μ2)
О: цикл μ называется линейной комбинацией циклов μ1, μ2 и т д если цикл
С(μ)=α1 С(μ1)+ α2С(μ2)+ ……………………+ αmС(μm) при этом
μ=α1 μ1+ α2μ2+ ……………………+ αmμm (4)
О: система циклов μ1, μ2…… и т д, называется линейно независимой из равенства
α1 μ1+ α2μ2+ ……………………+ αmμm =0 следует равенство 0 всех коэффициентов α
О: система независимых циклов называется цикловым базисом графа G если любой цикл из G может быть представлен в виде линейной комбинации из элементов базиса.
Теорема2: в любом графе G существует цикловой базис состоящий из простых элементарных циклов этого графа.
О: цикломатическим числом графа G называется число элементов его циклового базиса ( максимальное число независимых циклов)
Алгоритм нахождения базис вектор-циклов
G=<Q, X> │Q│= N .
T- остовное дерево G (графа) ; q1……………..qm – ребра Т; qn…………..qm – остальные ребра графа G , возьмем qi , i=n, n+1, ……N; и добавим это ребро в дерево Т пусть qi={x,y} дерево имеет две вершины x…..y назовем μi*(n-1); { μ1,….. μN-n+1}- линейно независимый образующий базис.
Связь базиса вектор-циклов с цикломатической матрицей.
44.Цикломатическая (контурная) матрица и матрица инциденций. Законы Киргофа. Уравнение контурных токов. Примеры.
Матрица инциденций.
Пусть задан граф G имеет N дуг и ребер и не имеет петель:
G=<Г, х> ; │х│=n ; Х={x1………xn} ; │Т│=N ; =││Sij││;
(-1 -если j дуга инцидентная i и вершина заходит в нее.
Sij= (1 -если j дуга инцидентная i и вершина исходит из нее .
( 0 -если j дуга неинцидентная i и вершина.
Замечание : для неориентированного графа Sij определяется:
1-если j ребро инциденции i вершины |
0- в противном случае |
Цикломатическая матрица.
G=<Q, х>;( n- вершины ; N-ребра) граф в котором μ1, μ2,……………………,μк – простые элемент циклы графа. Преобразуем неориентированный граф в ориентированный
задав произвольную ориентацию на его ребрах, введем матрицу .Элементы матрицы: Примеры.
в - матрица инциденций.
Законы Киргофа
1 закон - SI=0; S= [I1…………IN}]T
2 закон- BU=0; B=[U1…………UN}]T
Уравнение контурных токов.- метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.
Как известно, любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м законами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У–1 уравнений составляется по 1-му закону Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р–У+1 уравнений – по 2-му закону Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.
Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов.
Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У–1 уравнений для узлов означает, что зависимы У–1 токов. Если выделить в цепи Р–У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р–У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р–У+1 независимых токов.
Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р–У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.