38. Пути в графе. Цепи. Связные графы и компоненты связности.

Последовательность дуг орграфа такая, что начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей называется путём.

Путь у которого начало первой дуги совпадает с концом последней называется замкнутым путём или контуром.

Путь(контур) называется элементарным, если все его вершины различны( за искл. Первой и последней)

Путь (контур) называется простым, если все его дуги различны.

1)Цепью неор графа называется последовательность рёбер которая может быть превращена в путь введением соответственной ориентации на её ребрах.

2) Цепь у которой первая вершина совпадает с последней называется циклом.

3)Цепь( цикл) называется элементарной, если некоторая вершина встречается в ней не более одного раза.

4) Цепь (цикл) называется простой, если некоторое ребро встречается в ней не более одного раза.

Вершины х, у неор графа G называются связными, если существует цепь из х в у .

Неориентированный граф называется связным если все его вершины связны.

Утверждение: отношение связности ρ – отношение эквивалентности.

1. Xρx - рефлексивность

2. xρy => yρx - симметричность

3. xρy и yρz => xρz – транзитивность

Подграф G' графа G называется компонентой связности графа G, если все вершины G' составляют класс эквивалентности по отношению связности, а множество рёбер G' это все инцидентные этим вершинам рёбра.

Пример:

G-неор. граф.

4 компонента связности

Замечание1: для ор. Графа можно ввести несколько понятий связности. Говорят что вершина «у» орграфа G достижима из вершины «х» , если либо «х=у», либо существует путь из «х» в «у».

Ор.граф называется сильно связным, если для любых двух его вершин «х» и «у» существует путь из «х» в «у».

Ор.граф называется односторонне связным, если для любых двух его вершин по крайней мере одна достижима из другой.

39.Специальные пути в графе. Понятие о плоских графах.

Эйлеровы цепи.

Цепь М называется эйлеровой, если она содержит все ребра графа и при том по одному разу.

Граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда когда он связен и число вершин нечётной степени равно нулю или два(если таких вершин нет то существует эйлеров цикл)

Гамельтоновы цепи.

Цепь М называется Гамельтоновой, если она проходит через каждую вершину графа 1 и только 1 раз.

Плоские графы. Говорят что граф имеет плоскую реализацию(планарен) , если он может быть изображен на плоскости без пересечения рёбер.

Операция подразделения ребра.

G=<Г,x>

G->G’

Q’=Q\

x’=xU{a}

a – новая величина

Граф называется подразделением графа , если он может быть получен из путём применения конечного числа операций подразделения рёбер.

Замечание: обратная операция слияния двух рёбер применима лишь тогда, когда оба они обладают общей инцидентной вершиной, неинцидентной никаким другим рёбрам.

Гомеоморфизм. Графы переводимые друг в друга конечным числом подразделения и слияния рёбер называется – гомеоморфными.

Оношение гомеоморфизма есть отношение эквивалентности, заданное на множестве всех неор. Графов.

1)GpG - рефлексивность

2)р => р – симметричность

3)р и р=> р – транзитивность

Критерий планарности.Теорема Пантрягина-Куратовского.

Для того чтобы граф G имел плоскую ориентацию, необходимо и достаточно, чтобы любой его подграф не был гомеоморфен не одному из графов.