34.Предикаты. Кванторы. Язык логики предикатов. Формулы логики предикатов. Равносильность и общезначимость формул логики предикатов. Основные равносильности.

ПРЕДИКАТЫ

Предложения типа «x больше z», «x+y=z», «x параллельно y» называются высказывательными формами и используются для задания предикатов.

О: Предикатом назовем n-местную функцию из некоторого множества M в множестве истиностнх значений {Л,И}, т.е. функцию вида: P(x1,x2,...,xn):M->{Л,И}

Предикатом от n переменных называют n-местным предикатом. Высказывание можно считать нуль местным предиктом.

Т.к. предикаты принимают только {Л,И}, то к ним применимы все логические операции.

Областью истинности предиката назовем мн-во всех элементов вида <a1,a2,...,an>∈Mn таких что P(a1,a2,...,an) - истинное высказывание.

КВАНТОРЫ

В логике высказываний кроме операций логики высказываний употребляют еще две операции.

1. Квантор общности ∀

Пусть P(x) одноместный предикат, тогда под выражением ∀xP(x) будем понимать: высказывание истинно тогда и только тогда, когда P(x) истинно для каждого x∈M. Это высказывание уже не зависит от x, а символ ∀x называют квантором общности.

2. Квантор существования ∃

Пусть P(x) одноместный предикат, тогда под выражением ∃xP(x) будем понимать высказывание истинное тогда и только тогда когда P(x) истинно хотя бы при одном x∈M

∃xP(x) читается - существует x для которого P(x). Также не зависит от x.

Замечание: Применение квантором P(x) называется связывание квантором.

Замечание2: Вместо слова «всякий» употребляют слова - «каждый», «всякий», а вместо «существует» употребляют слова - «есть», «найдется», «некоторые», «хотя бы один»

Следует обратить внимание на специфику употребления слова «некоторый». В обиходе имеется в виду - «по меньшей мере один, но не все». А в логике слово «некоторый» означает - «по меньшей мере 1, но может и все»

Замечение 3: Если множество M значения переменных является конечным, например M={a1,a2,...,an}, то

1)высказывание ∀xΦ(x) имеет тот же смысл, что и высказывания Φ(a1)&Φ(a2)&...&Φ(an)

2) высказывание ∃xΦ(x) имеет тот же смысл, что и высказывания Φ(a1)∨Φ(a2)∨... ∨Φ(an)

АЛФАВИТ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

G=G1∨G2∨G3∨G4∨G5

1) G1={x1,x2,...xn} - предметные переменные.

2) G2={&,∨,⊃,∼} - логические связки.

3) G3={ ( , ) } - вспомогательные символ

4) G4={P1,P2,...Pi,...} - символы предикатов

5) G5={∀, ∃} - символы кванторов.

ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

Слово логики высказываний(посмотрите может тут должно быть логики предикатов, но у меня почему-то так написанно) называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

1) Если P символ предиката, x1,x2,...,xn символы предметных переменых, необязательно различные, то P(x1,x2,...xk) - атомарная формула. Все предметные переменные атомарной формулы свободны, связаных переменных нет.

2) Пусть A - формула, тогда «неверно что A» также формула, т.е. ¬А - тоже формула. Свободные и связные переменные формулы ¬А это свободные и связные переменные формулы А.

3) Пусть А и В формулы, тогда (А∨В), (А&В), (А⊃В), (А∼В) - формулы, если в А и В нет таких предметных переменных, которые связанны в одной и свободны в другой.

4) Если А формула, а x предметная переменная, тогда ∀xA(x),∃xA(x) - формулы( в этом случае А называют областью действия квантора общности или сущ.)

5) Других формул, кроме пунктов 1-4 нет.

Замечание: вхождение переменной x в формулу называется связанным, если оно входит в область действия квантора общности или существования.

РАВНОСИЛЬНОСТИ И ПРАВИЛА РАВНОСИЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ

Замечание: очевидно, что для формул логики предикатов сохраняются все равносильности и правила авносильных преоразований логики высказываний.

1. Перенос квантора через отрицание.

Пусть А формула содержащая свободную переменную X, тогда справедливо след. равносильности.

1) ¬(∀xA(x))≡∃x¬A(x)

2) ¬(∃xA(x))≡∀x(¬A(x))

Это обощение закона Де Моргана.

2. Вынос квантора за скобки.

Пусть формула А содержит свободную переменную х, а формула В не содержит, тогда справедлива след равносильности:

1) ∀xA(x)&B≡∀x(A(x)&B)

2) ∃xA(x)∨B≡∃x(A(x)∨B)

3) ∀xA(x)∨B≡∀x(A(x)∨B)

4) ∃xA(x)&B≡∃x(A(x)&B)

5) ∀xA(x)⊃B≡∃x(A(x)⊃B)

6) ∃xA(x)⊃B≡∀x(A(x)⊃B)

7) В⊃∀x(A(x)≡∀x(B⊃A(x))

8) B⊃∃xA(x)≡∃x(B⊃A(x))

Замечание:

1’) ∀xA(x)&∀xB(x)≡∀x(A(x)&B(x))

2’) ∃xA(x)∨∃xB(x)≡∃x(A(x)∨B(x))

3’) ∀xA(x)∨∀xB(x)≠∀x(A(x)∨B(x))

4’) ∃xA(x)&∃xB(x)≠∃x(A(x)&B(x))

3.Перестановка одноименных кванторов.

1) ∀x∀yA(x,y)≡∀y∀xA(x,y)

2) ∃x∃yA(x,y)≡∃y∃xA(x,y)

4.Переименование связанных переменных.

Заменяя связанную переменную заданную формулу другой переменной не входящей в эту формулу в кванторе и всюду в области действия квантора получим формулу равносильную данной

1) ∀xA(x)≡∀yA(y)

2) ∃xA(x)≡∃yA(y)