25. Нормальные формы формул. Приведение к сднф и скнф.

Элементарная & и V. Элементарная &(V) называется &(V) формул, каждая из которых есть либо высказывательная переменная, либо отрицание высказывательной переменной.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формы называется равносильная ей форма, состоящая из конъюнкций (&) элементарных дизъюнкций (V).

ДНФ данной формулы называется равносильная ей формула, состоящая из V элементарных &.

Алгоритм приведения формулы к СДНФ и СКНФ.

Х₁= Х₁ & Х₁= Х₁ &Х₁ &Х₁

Пусть формула F зависит от списка переменных <х₁, … , х_n>. Говорят, что формула F находится в СДНФ (СКНФ) относительно списка, если выполняются следующие условия:

1.Функция F находится в ДНФ (КНФ)

2.Каждый дизъюнктивный (конъюнктивный) член F является элементом конъюнкции (дизъюнкции), l –тый член которого есть либо высказывательная переменная х_l или ее отрицание, где l=1… n

3.Все дизъюнктивные (конъюнктивные) члены F попарно различны.

Теорема

Пусть F зависит от списка переменных <х₁, … , х_n> и F – НЕ тождественно-ложная (истинная) формула, тогда существует такая формула М, что F=M и М находится в СДНФ(СКНФ) относительно списка переменных.

Док-во:

Предположим, что F имеет вид F=F₁ V F₂ V … V F_m

1)среди всех элементарных конъюнкций найдем элементарные конъюнкции, имеющие вид

F_i = (x_l & ͞x_l & c_i ) = Л где с_i – остаток элементарной конъюнкции

Л V f=f

2)преобразуем F, выбрасывая элементарные конъюнкции

Р= Р₁ V P₂ V … V P_k , F=P

Выделим скобки

P_i = (x_l & x_l & c_i ) = (x_l & c_i )

3)F=P=α=α₁ & α₂ & … & α_k

4)1. α_i содержит x_l или ͞x_l

2. α_i НЕ содержит x_l или ͞x_l тогда

α_i= (α_i& x_l) V( α_i & ͞x_l)

5)β= β₁ V β₂ V… V β_u

6)М = М₁ V M₂ V … V M_z

Причем М=α=β=Р=F

26.Булевы функции. Теорема о представлении булевой функции формулой логики высказываний.

Л – 0

И – 1

{ 0,1} = В

Функция f(х₁ , х₂ … х_n )определенная на множестве Вⁿ и принимающая значения из множества В, называется булевой функцией n – переменных.

f(х₁ , х₂ … х_n ) : Вⁿ ->В

<х₁ , х₂ … х_n>

<0, 0, …. 1>

Теорема

Каждая булева функция f(х₁ , х₂ … х_n ) (n≥1), не равная тождественно нулю может быть представлена виде

Формула

,причем различные значения n соответственно различные кортежи i(Ɛi₁ … Ɛi_n)

Формулы

Любая булева функция представлена СДНФ т.е. виде

f(х₁ , х₂ … х_n ) = V ( x₁^Ɛi & x₂^Ɛi &… & x_n^Ɛi)

<Ɛi₁ , Ɛi₂ …Ɛi_n>

F(Ɛi₁ , Ɛi₂ …Ɛi_n) =1

27. Булевы функции. Булевы функции двух переменных.

про булевы функции см 26 вопрос( Булевы функции. Теорема о представлении булевой функции формулой логики высказываний)

БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

#	x1	x2	f0	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
2	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
3	1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

f0=‘0’; f1=x1&x2; f2=¬(x1⊃x2); f3=x1; f4=¬(x2⊃x1); f5=x2; f6=x1+x2; f7=x1∨x2;

f8=x1ºx2; f9=x1∼x2; f10=¬x2; f11=x2⊃x1; f12=¬x1; f13=x1⊃x2; f14= x1|x2; f15=’1’;