4. Понятие функции. Инъективные, биективные, суръективные функции. Композиция и обращение функций.

Бинарное отношение f называется функцией, если <x,y>f и <x,z>f y=z.

Замечание:

1) Если Df=X,а RfY, то говорят что функция f задана на множестве Х со значениями во множестве Y и осуществляет отображение X в Y.

f:XY

2)Если f функция, то вместо <x,y>f пишут y=f(x), где y-образ элемента x, при отображении f, а x-прообраз элемента y.

Lx={<x,x>| xX} Lx: x X Lx(x)=x

Пусть задана f: xy:

-Функция (отображение f) называется инъективной, если х1,х2, y из того, что y=f(x1), y=f(x2) x1=x2

-Функция называется суръективной, если для всякого y существует такое х, что y=f(x)

-Функция называется биективной, если f одновременно: инъективна и суръективна.

Замечание: Если существуeт функция f: xy, то говорят, что f – осуществляет взаимное однозначное соответствие, между множествами X и Y, а f: xX называется подстановкой.

Можно доказать следующие утверждения:

- композиция 2-х функций, есть функция.

- композиция 2-х биективных функций, есть биективная функция.

- отображение f: xy имеет обратное отображение f: yx тогда и только тогда, когда f – биекция.

5. Бинарные отношения на множестве х. Рефлексивность, симметричность, транзитивность бинарных отношений на множестве х.

n – арным отношениями между элементами множеств x1,x2,x3…..xn называется произвольное подмножество их прямого произведения x1*x2*…..*xn

x1*x2*x3….xn

Бинарным (двуместным) отношением между 2 множествами x и y, называется произвольное подмножество их прямого произведения.

x*y

Замечания:

1. Если x=y, то говорят, что -есть отношение на множестве Х.

x*х

2. Множество х называется множеством области отправления, а y множеством области прибытия бинарного отношения.

3.Тот факт, что x X, yY находиться в отношении , т.е <x,y> будем записывать в виде xy

Свойства:

1. Рефлексивонсть:

x*х называется рефлексивным, если x X xх или (<x,x> )

2. Симметричность:

x*х называется симметричной, если x,y X xy yx или (<x,y> <y,x>)

3.Транзитивность:

x*х называется транзитивным, если x,y,z X из того, что xy и yz –

xz (<x,y> и <y,z> след <x,z>)

6. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.

Отношение рефлексивное, симметричное и транзитивное одновременное на множестве Х называется отношением эквивалентности.

Классом эквивалентности порождённым элементом «х» называется подмножество множества Х, которое состоит из тех «у є х», которое состоит из «у є х» для которых «х ро у».

7. Разбиение множества. Теорема о связи между отношением эквивалентности на множестве и разбиением множества.

Теорема: Множество классов эквивалентности по отношению эквивалентности на множестве х – есть разбиение.

Обратная: Если задано разбиение , то эти подмножества будут являться классами эквивалентности по некоторому отношению на множестве х.

8. Отношение порядка. Частичный и линейный порядок. Упорядоченные множества.

Частичный порядок: отношение, в котором одновременно выполняется рефлексивность, антисимметричность и транзитивность, называется отношением частичного порядка.

Линейный порядок: отношение частичного порядка называется отношением линейного порядка, если любые 2 элемента множества Х сравнимы между собой, т.е. для

Упорядоченные множества: Множество Х с заданным на нём частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

Пусть Х – частично упорядоченное множество.

х - называется минимальным (максимальным) элементом множества Х.

Если для

2)a<xa=x

3)x<a=>a- наибольший элемент

4)a<x=>a – наименьший элемент.