1. Понятие множества. Способы задания множеств. Операции над множествами. Диаграммы Венна.

Под множеством А мы понимаем собрание определённых и различных между собой объектов мыслимых как единое целое. Эти объекты называются элементами множества.

аА

аА, - отношение принадлежности.

Характеристическая функция:

Виды множеств:

-Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными. (Число элементов конечного множества называется его мощностью)

-Пустое множество: множество мощностью 0, т.е не содержащее ни одного элемента, называется пустым.

-Универсальное множество: это любое изучаемое в данный момент множество.

Способы задания множеств.

1. Перечислением (списком своих элементов)

А =

2. Описанием характеристических свойств.(которыми должны обладать его элементы)

- универсальное множество.

x, Р(х) – предикаты.

3. Порождающие процедурой. (которая описывает способ получения элементов множества из уже полученных либо из других объектов)

Рассмотрим след. пример

X Q

1.3X;

2.xX 1/x, 1-xX

3.Для других элементов, кроме тех которые построены по пунктам 1,2 в Х нет

Х=

Замечание:Задание множеств с помощью описаний может приводить к противоречиям.

Операции над множествами.

Пусть А и В произвольные множества, заданные на , тогда справедливы следующие операции:

1)пересечение:

АВ = {xX| xA u xB}

2)объединение:

AB = {xX| xA uли xB}

3)относительное дополнение:

A\B= {xX| xA и xB}

4)симметрическая разность:

A+B= (A\B) (B\A)

5)абсолютное дополнение:

= \A

2.Равенство множеств. Основные тождества алгебры множеств.

Равенство множеств:

Условимся говорить, что множества А и В равны и писать А=В, если А и В состоят из одних и тех же элементов.

Основные тождества.

Пусть задано множество , а А, В, С подмножества множества , тогда выполняются следующие свойства:

-1 AB = ВА

-2 AА = А

-3 A(B С) = (AB) С

-4 АВ = ВА

-5 АА = А

-6 А(ВС) = (АВ) С

-7 А(ВС) = (AB) ( AС)

-8 A(ВС) = (АВ) (АС)

-9 А(АВ) = А

-10 A(АВ) = А

-11 = А

-12

-13

-14 А = (AB) (А)

-15 А = (АВ) (А)

-16 A =

-17 A= 0

-18 A 0 = А

-19 A 0 = 0

-20 A=

-21 A = А

-22 А\В = А

3. Прямое произведение множеств. Отношения, бинарные отношения. Операции над отношениями.

Прямым произведением множеств X u Y называется множество, состоящее из всех тех и только тех пар, первая компонента которой Х, а вторая Y.

X*Y

Пример:

X = {a,b} Y = {1,2,3}

X*Y={<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>}

X*YY*X

(*) X1,X2,…Xn

Прямым произведением множества (*) называется множество, состоящее из всех тех и только тех картежей длины l, первая компонента которой Х1, вторая Х2 ... и n Xn,Это множество обозначается: X1*X2*…*Xn = {<x1,x2,…xn>| x1X1……}

Отношения, бинарные отношения.

Рассмотрим вспомогательное понятие картеж.

Упорядоченная пара <x,y> интуитивно определяется, как совокупность, состоящая из 2-х элементов хХ и yY, расположенных в определённом порядке.

Две пары <x,y> u <U,V> равны тогда и только тогда, когда x=U, y=V

<1,z><z,1>

Картеж или упорядоченный набор n элементов x1X1, x2X2…. xnXn обозначается <x1,x2,x3…xn> и по определению есть <<x1,x2,x3….xn-1>,xn>.

Два картежа и :

=<x1,x2…..xn>

=<y1,y2….ym> равны тогда и только тогда, когда n = m и (x1=y1 X1

x2=y2 X2 )

Число n – называется длинной картежа, а элементы xi – итой проэкцией ( координата компоненты картежа).

Операции над отношениями.

1. Для бинарных отношений обычным образом определены все теоретико-множественные операции: ,,\,,+,*

2. Обратное отношение: обратным (инверсным) отношением называется отношение

={<x,y>| <y,x>}

3. Композиция отношений:

а) X*Y

Z*Y

Композицией двух бинарных отношений и называется отношение X*Y, которая определяется следующим образом:

=={<x,y>| xX, yY и Z xy и zy}

б) Композиция отношений на множестве X:

=={<x,y>|, что xz и zy}

Замечание:

Композиция отношений на множестве X порождает понятие: степень отношения

=^2 =^3 ^n=^n-1