Вопрос 14. Бесконечность множества простых чисел.

Пусть конечно: p1,p2,p3, …pk – все простые.

Но тогда число p1*p2*p3* …*pk +1 не делится ни на одно простое, значит тоже простое.

Нашли еще одно. Противоречие.

Вопрос 15. Понятие изоморфизма групп. Теорема о изоморфизме цикличных групп одного и того же порядка.

Группы называют изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию т.е. такое, что для :

;

Т.е. есть если выполнено:

1) .

2)

Th. о изоморфизме цикличных групп одного и того же порядка (вариант 1):

Любая конечнопорождённая абелева группа G изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа это такая циклическая группа чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида , где n≥0, и числа m₁,...,m_t являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения n,m₁,...,m_t однозначно определены (с точностью до порядка) группой G; В частности, G конечна тогда и только тогда когда n = 0.

На основании того факта что G_m будет изоморфно произведению G_j и G_k тогда и только тогда когда j и k взаимнопросты и m = jk, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу G в форме прямого произведения ,

где k₁ делит k₂, который делит k₃ и так далее до k_u. И снова, числа n и k₁,...,k_u однозначно заданы группой G.

Th. о изоморфизме цикличных групп одного и того же порядка (вариант 2):

Все циклы группы одного и того же порядка изоморфны.

Если <g> образующая циклической группы f:

если e>q

Вопрос 16. Критерий «быть подгруппой», следствия. Пересечение подгрупп.

Определение 1:

Непустое подмножество H группы (G, •) называют ее подгруппой, если H замкнуто относительно групповой

операции и является группой относительно этой операции. В этом случае пишут H < (G, •) или H < G, и если H ∉ {G, {е}}, то подгруппу H называют собственной. Очевидно, что всякая подгруппа в (G, •) является подполугруппой, но обратное неверно, как показывает пример подполугруппы N в (Z, +). Ясно также, что если H < (G, •), М < (H, •), то М < (G, •).

Теорема (Критерий подгруппы):

Непустое подмножество Н группы (G, ) является ее подгруппой тогда и только тогда, когда для любых элементов x и y из H элементы x*y и x^| принадлежат H, т.е. H ≤ G  (x ∊ H,y ∊ H => x*y ∊ H,x^| ∊ H) .

Доказательство:

Если Н < (G, ), то условие следует из определения подгруппы. Пусть условие верно. Так как Н не пусто, то существует g ∊ Н и в силу условия е = g g^-1 ∊ Н. Тогда для любых g , h ∊ H справедливы соотношения

h^-1 = eh^-1 ∊ Н и gh = g(h^-1)^-1 ∊ Н. Следовательно, подмножество Н замкнуто относительно групповой операции на G, и так как эта операция ассоциативна, то Н удовлетворяет всем условиям определения т е Н < (G, ).

Следствие 1:

Конечное непустое подмножество Н группы G является ее подгруппой тогда и только тогда, когда:

Vg,h ∊ H (g,h ∊ H),

т.е. тогда и только тогда, когда Н — подполугруппа в (G, ).

Следствие 2:

Пусть φ (G, ) —> (K, ) гомоморфизм групп. Тогда

а) Если Н < G, то φ(Н) < К,

б) если L < K, то φ^-1(L) < G.

Доказательство:

a) Для любых α,β ∊ φ(Н) существуют a,b ∊ H такие, что φ(a) = α, φ(b) = β. Так как a b^-1 ∊ H и φ(b^-1) = φ(b)^-1,

αβ^-1 = φ(a) φ(b)^-1 = φ(ab^-1) ∊ φ(H).

б)Если a,b ∊ φ^-1(L), то φ(a), φ(b) ∊ L и φ(a)φ(b)^-1 ∊ L. Поэтому φ(ab^-1) = φ(a) φ(b)^-1 ∊ L, т.е. ab^-1 ∊ φ^-1(L).

Определение2:

Если А и В – подгруппы группы G, то А является подгруппой группы G.

Доказательство:

(x ∊ А, y ∊ А) => (x ∊ A, y ∊ A, x ∊ B, y ∊ B) => (x*y ∊ A, x^| ∊ A, x*y ∊ B, y^| ∊ B) => (x*y ∊ А, x^| ∊ А).