- •Вопрос 1. Методы математических доказательств (метод непосредственной проверки, метод доказательства от противного, метод математической индукции).
- •2 Метод.
- •3 Метод.
- •Вопрос 2. Формула Бинома Ньютона.
- •Вопрос 3. Сочетания, размещения, перестановки. Теоремы о числе сочетаний, размещений и перестановок, их следствия.
- •Вопрос 4. Инверсии в перестановках. Чётные и нечётные перестановки при транспозиции.
- •Вопрос 5. Понятие множества. Основные операции на множествах. Свойства операций на множестве (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность). Декартово произведение множеств.
- •Вопрос 6. Отображения множеств. Свойства отображений.
- •Вопрос 7. Отношения на множестве, бинарные отношения. Отношения эквивалентности, отношения порядка.
- •Вопрос 8. Понятия группоида, полугруппы, группы и подгруппы. Совпадение нейтрального (единичного) и симметричного (обратного) элементов группы и подгруппы.
- •Вопрос 9. Подгруппа, порожденная подмножеством элементов группы.
- •Вопрос 10. Понятие наибольшего общего делителя (нод) и наименьшего общего кратного (нок) целых чисел. Условия существования и единственности нод. Взаимно простые числа и их свойства.
- •Вопрос 11. Алгоритм Евклида для целых чисел.
- •Вопрос 12. Представление нод двух чисел в виде их линейной комбинации:
- •Вопрос 13. Простые числа, их свойства. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение целого числа.
- •Вопрос 14. Бесконечность множества простых чисел.
- •Вопрос 15. Понятие изоморфизма групп. Теорема о изоморфизме цикличных групп одного и того же порядка.
- •Вопрос 16. Критерий «быть подгруппой», следствия. Пересечение подгрупп.
- •Вопрос 17. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
- •Вопрос18: Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Цикловая структура подстановки.
- •Вопрос 19: Теоремы о гомоморфизме групп.
- •Вопрос 20. Обращение теоремы Лагранжа для циклических групп.
- •Вопрос 21. Классы сопряженных элементов, их свойства. Нормализатор элемента группы.
- •Вопрос 22. Группа биективных отображений множества (симметрическая группа). Определение группы подстановок. Сопряжённые элементы в симметрической группе.
- •Вопрос 23. Знакопеременная группа.
- •Вопрос 24. Циклические группы, их описание. Цикличность подгруппы циклической группы. Пример группы корней n-ой степени из единицы.
- •Вопрос 25. Порядок элемента конечной группы. Соотношения между порядком элемента и порядком группы.
Вопрос 17. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
Определение 1:
Говорят, что элементы а, b группы G сравнимы по подгруппе H справа (слева), и пишут а = b(Н)п (а = b(H)л) , если ab-1 ∊ H (а-1b ∊ H). Если G — абелева группа, то отношения сравнимости по H справа и слева совпадают.
Определение 2:
Правым (левым) смежным классом группы (G, •) по ее подгруппе H с представителем g ∊ G называется множество Hg (множество gH).
Теорема 1:
Пусть Н — подгруппа группы (G, •) Тогда:
а) отношение сравнимости на G по подгруппе Н справа есть отношение эквивалентности;
б) для любого g ∊ G класс элементов, сравнимых с g пo H справа, есть Hg. Любые два правых смежных класса группы G по подгруппе Н либо не пересекаются, либо совпадают. Группа G распадается на непересекающиеся правые смежные классы по подгруппе Н.
Аналогичные утверждения верны для левых смежных классов группы G по подгруппе Н и отношения сравнимости по Н слева.
Доказательство:
а) Обозначим, для краткости, отношение сравнимости на G по Н справа через р, т. е. положим Va, b ∊ G: apb <=> а = b(Н)п <=> ab-1 ∊ H.
Отношение р — рефлексивно, так как е ∊ H, и симметрично, так как в Н существует обратный для каждого элемента из H. Наконец, р — транзитивно, так как если apb и bрс, то аb-1 ∊ H, bc-1 ∊ H , и потому
ac-1 = (ab-1) • (bc-1) ∊ H, т. е. aрc.
. б) Для каждого g ∊ H класс всех элементов, р — эквивалентных g, имеет вид = {а ∊ G : аg-1 = h, h ∊ H} = {a ∊ G : а = hg, h ∊ H} = Hg. Теперь из общих свойств отношений эквивалентности следует, что для любых g1,g2 ∊ G классы Нg1 = и Нg2 = либо не пересекаются, либо совпадают, и если {Н: α ∊ А} — множество всех различных правых смежных классов G по H, то G = .
Теорема 2:
а) Любые два правых (левых) смежных класса группы
G по подгруппе H равномощны. В частности, в конечной группе G для
любого g ∊ G верны равенства |Н| = |Нg| = |gН|.
б) Множество υ правых смежных классов G по Н равномощно
множеству £ левых смежных классов G по Н.
Доказательство:
а) Достаточно заметить, что отображение φ: H—>Hg , определяемое формулой Vh ∊ H (φ(h) = hg) ,есть биекция. Следовательно, все смежные классы G по H равномощны H.
б) Для любых g1,g2 ∊ G справедливы импликации:
H = Hg1g2-1 ∊ H (g1-1)-1g2-1 ∊ H g1-1H = g2-1H.
Отсюда следует, что отображение ψ: υ—> £ определяемое условием VHg ∊ υ: ψ(Нg) =g-1H, задано корректно и инъективно. Его сюрьективность очевидна. Таким образом, ψ— биекция.
Определение 2:
Индексом подгруппы Н в группе G называют число правых (левых) смежных классов G по H, если это число конечно, и бесконечность — в противном случае. Индекс H в G обозначают через |G : Н|. Очевидно, что если H < G, то H = G |G : Н| = 1.
Теорема Лагранжа:
Порядок подгруппы H конечной группы G делит порядок G и |G| = |G : Н| • |H|.
Доказательство:
Разложение G на правые смежные классы по подгруппе H имеет вид G = HU.. .U H, где k = |G : H|. Отсюда |G| = |H| + .. . + |H| и ввиду утверждения а) теоремы 2 |G| = к |Н|.