Вопрос 21. Классы сопряженных элементов, их свойства. Нормализатор элемента группы.

Класс сопряжённости элемента g ϵ G есть множество

Свойства отношения сопряженности:

1) Рефлективность.

2) Симметричность. Если , т.к. из равенства вытекает, что (если b получается трансформированием а элементом , то а получается трансформированием b элементом ).

3) Транзитивность. Если , то . Действительно, из равенства вытекает, что (т.е. что элемент с получается трансформированием а элементом ).

4) Определяет разбиение группы G на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов.

5) Число классов сопряжённых элементов равно порядку группы. В некоммутативной группе число классов сопряжений меньше. Порядки сопряжённых между собой элементов одинаковы.

Нормализатор элемента группы:

Множество всех элементов группы G, перестановочных с данным элементом a , является подгруппой группы G (нормализатором элемента a), которая содержит цикличную подгруппу, порождённую элементом a, в качестве своего нормального делителя.

Вопрос 22. Группа биективных отображений множества (симметрическая группа). Определение группы подстановок. Сопряжённые элементы в симметрической группе.

Группа подстановок:

Пусть π - подстановка, т.е. взаимно однозначное отображение множества {1,…,n} на себя.

Симметрическая группа:

Группу S(Ω) всех подстановок множества называют симметрической группой подстановок множества Ω.

В случае , когда Ω = {1,…,n}, группу S(Ω) называют симметрической группой подстановок степени n и обозначают через .

Сопряжённые элементы в симметрической группе:

Любые две подстановки принадлежащие S, и имеющие одинаковую цикловую структуры, сопряжены между собой.

(135)(2467)

(415)(2367)

Вопрос 23. Знакопеременная группа.

Знакопеременной группой подстановок степени n (обозн. A_n) называется подгруппа симметрической группы S_n степени n, содержащая только чётные подстановки.

Знакопеременная группа является нормальной подгруппой симметрической группы.

Порядок знакопеременной группы равен: | A_n | = n! / 2.

Вопрос 24. Циклические группы, их описание. Цикличность подгруппы циклической группы. Пример группы корней n-ой степени из единицы.

Группа (G,·) называется циклической , если она порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число.)

Таким образом, мы называем G циклической, если G = {aⁿ| }. Иначе говоря, группа G циклическая, если в G любая подгруппа, содержащая a, совпадает с G. Это следует из того, что в такой подгруппе должны содержаться все степени элемента a.

Каждая подгруппа G циклична.

Корни из единицы образуют по умножению группу. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы.

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент u_k, индекс k которого взаимно прост с n.

Следствия:

элемент u₁ всегда является первообразным;

если n — простое число, то степени любого корня, кроме , охватывают всю группу;

число первообразных корней равно , где — функция Эйлера.

Если n > 1, то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы u имеет место формула: