Вопрос18: Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Цикловая структура подстановки.

Каждая подстановка g ∊ S(Ω) задается таблицей

G = ,

Означающей , что подстановка g отображает число k в , k = 1,…,n.Существует и другая форма записи подстановок, когда образ элемента k записывается не под ним , а справа от него. Приведем алгоритм получения такой записи подстановки g ∊ . Запишем сначала любое число а1 Ω, за ним через запятую запишем его образ при действии подстановки g, т.е. число а2 = g(а1), затем число а3 = g(а2) и т.д. до тех пор , пока не появиться число такое, что g() = при I ≤ r.Такой момент обязательно наступит в силу конечности множества Ω.Теперь набор чисел а1,а2,…,аr заключаем в скобки и называем циклом длины r подстановки g.Если множество Ω не исчерпано, то выбираем в нем любой из оставшихся элементов b1 и аналогичным образом строим цикл (b1,b2,…,bs). Продолжая этот процесс до исчерпания всех элементов множества Ω, мы получим так называемую цикловую запись подстановки g:

g = (a1,a2,…,ar)(b1,b2,…,bs)(с1,с2,…,сt).

Определение 1:

Если в цикловой записи подстановки g ∊ содержится k1 циклов длины 1, k2 циклов длины 2, …..,kn циклов длины n , то говорят , что подстановка g имеет цикловую структуру [k1,k2,…,kn].

Теорема 1:

Любая подстановка g из группы представляется в виде произведения независимых циклов, и такое представление единственно с точностью до перестановки сомножителей.

Вопрос 19: Теоремы о гомоморфизме групп.

Первая теорема:

Пусть φ:G —> H- гомоморфизм групп, тогда:

1)Ядро φ- нормальная подгруппа в G;

2)Образ φ- подгруппа в H;

3)Образ φ изоморфен факторгруппе G/ker φ.

В частности, если гомоморфизм φ сюръективен(т.е. является эпиморфизмом), то группа H изоморфна факторгруппе G/ker φ.

Вторая теорема:

Пусть G- группа, S- подгруппа в G, N- нормальная подгруппа в G,

Тогда:

1)Произведение SN – подгруппа в G,

2)Пересечение S –нормальная подгруппа в S;

3)Факторгруппа(SN)/N,S/( S) изоморфны.

Третья теорема:

Пусть G- группа , N и K- нормальные подгруппы в G такие, что K ⊆ N, тогда:

1)N/K-нормальная подгруппа в G/K;

2)Факторгруппа факторгрупп (G/K)/(N/K) изоморфна факторгруппе G/N.

Вопрос 20. Обращение теоремы Лагранжа для циклических групп.

Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых смежных классов.

Следствия:

- Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы H в G одинаково и называется индексом подгруппы H в G (обозначается [G:H]).

- Порядок любой подгруппы конечной группы G делит порядок G.

- Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы G делит порядок G. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.

- Группа порядка p, где p — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок p, и значит, каждый из них порождает группу.)