Вопрос 12. Представление нод двух чисел в виде их линейной комбинации:

Как следствие, из алгоритма Евклида вытекает, что для любых целых чисел a и b всегда существуют числа m и n, такие что НОД(a, b) представляется в виде линейной комбинации этих чисел:

ma + nb = r_n = НОД(a, b).

Вопрос 13. Простые числа, их свойства. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение целого числа.

Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Свойства:

- Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b (лемма Евклида).

- Кольцо вычетов Z_n является полем тогда и только тогда, когда n — простое.

- Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.

- Если p — простое, а a — натуральное, то a^p − a делится на p (малая теорема Ферма).

- Если G — конечная группа с pⁿ элементов, то G содержит элемент порядка p.

- Если G — конечная группа, и pⁿ — максимальная степень p, которая делит | G | , то G имеет подгруппу порядка pⁿ, называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно pk + 1 для некоторого целого k (теоремы Силова).

- Натуральное p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p − 1)! + 1 делится на p (теорема Вильсона).

- Если n > 1 — натуральное, то существует простое p, такое, что n < p < 2n (постулат Бертрана).

- Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при

- Любая арифметическая прогрессия вида a,a + q,a + 2q,a + 3q,..., где a,q > 1 — целые взаимно-простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

- Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1 или 6k − 1, где k — некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между последовательными простыми числами одинакова, то она кратна 6 — например (5, 11, 17, 23, 29).

- Если p > 3 — простое, то p² − 1 кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3).

- Теорема Грина-Тао - существуют сколь угодно длинные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел.

- Никакое простое число не может иметь вид n^k − 1, где n>2, k>1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, большим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид 2^k − 1, то k — простое (см. числа Мерсенна).

- Никакое простое число не может иметь вид n^{2k + 1} + 1, где n>1, k>0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, большим 1.

- ...

Основная теорема арифметики:

Каждое натуральное число n > 1 представляется в виде , где  — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство (опирается на лемму Евклида):

Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел x*y, то p делит x или y.

Существование: Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность: Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n / p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

Процесс представления целого числа в виде канонического разложения на простые множители называется факторизацией этого числа.

Для этого необходимо последовательно делить данное число на простые числа, начиная с наименьшего простого числа 2.

Пример: