Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теоретический минимум.docx
Скачиваний:
22
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
134.95 Кб
Скачать

Вопрос 1. Методы математических доказательств (метод непосредственной проверки, метод доказательства от противного, метод математической индукции).

1) Метод непосредственной проверки:

Этим методом обычно доказывают равенства или некоторые другие соотношения, а само доказательство заключается в осуществлении последовательности действий, существо и порядок которых определяются

самой формулировкой доказываемого утверждения.

2) Метод доказательства от противного:

Для доказательства этим методом некоторого утверждения А допускают, что утверждение А ложно, то есть истинно его отрицание A*. Далее, с использованием утверждения А* доказывают некоторое заведомо ложное утверждение F и из этого делают вывод о том, что сделанное предположение о ложности А неверно, и поэтому А — истинно. В основе этого метода лежит логическое правило (А* => F, F == л) => А.

3) Метод полной математической индукции:

Этот метод применяют для доказательства таких утверждений, в формулировке которых участвует числовой параметр n, принимающий все значения из множества N натуральных чисел. Процесс доказательства методом полной математической индукции состоит из двух этапов.

А) Доказывают, что утверждение A(t) истинно при t = 1 (это чаще всего удается сделать непосредственной проверкой).

Б) Исходя из допущения, что утверждение A(t) верно для произвольного фиксированного значения t = n доказывают его истинность при t = n + 1.

1 МЕТОД.

Теорема:

Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах ,,.

Доказательство:

Доказано.

2 Метод.

Докажем одно из следствий аксиом линейного пространства.

Например: Единственность ноль вектора.

Допустим, что есть 2 ноль вектора .

По определению:

Положим:

=>

Предположение оказалось неверным => ноль вектор единственен

Доказано.

3 Метод.

Доказать методом математической индукции, что

Доказательство:

1) Проверяем верность данной формулы при n=1. Левая часть = 1. Правая часть =1. Значит формула верна для n=1.

2) Предполагая, что данная ф-ия верна для некоторого n>1, докажем что при n+1 имеет место такая же формула: .

Действительно:

ч.т.д.

Делаем вывод на основании математической индукции, что формула верна для .

Вопрос 2. Формула Бинома Ньютона.

Для любого натурального числа n справедлива формула:

– формула Бинома Ньютона.

Доказательство:

Метод математической индукции.

1) Проверяем верность формулы при n=1:

2) Предполагая, что формула верна для некоторого n, покажем, что она верна для n+1 т.е. докажем справедливость формулы:

Действительно, используя сначала свойства степени с натуральным показателем, далее исходную формулу Бинома Ньютона и правило перемножения многочленов получим:

Приводя подобные члены имеем:

,

откуда в силу того, что

Из 1) и 2) на основании метода математической индукции заключаем, что формула верна

Теорема Доказана.

Следствия:

1)Число всех членов разложения на единицу больше показателя Бинома. Это видно из самой формулы.

2)Сумма показателей степени при a и b в любом слагаемом разложения равна n – показателю степени Бинома.

3)Биномиальные коэффициенты, равноудалённые от концов разложения равны между собой, т.к.

4) Общий член разложения имеет вид:

Положив k=0,1,2…n получаем первый, второй и другие члены разложения.

Например

5)Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

Действительно, полагая a=b=1 получим:

6)Число всех подмножеств n-элементного множества равно .

Также формула имеет вид