Теория
.pdf1 |
Ряды. Теория |
Числовые ряды
Рассмотрим числовую последовательность a1 , a2 , ..., an , ..., т.е. пронумерованный набор чисел.
Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов числовой последовательности
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 a2 a3 ... an ... an , |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
an - общий член числового ряда. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Определение 2. Сумма Sn a1 a2 a3 an первых n членов ряда |
an называется |
||||
|
|
|
|
|
n 1 |
n-ой частичной суммой. |
|
|
|
||
Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда |
|
||||
S1 a1 |
|
|
|
|
|
S2 a1 a2 |
|
|
|
|
|
S3 a1 a2 a3 |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
Sn a1 a2 a3 an |
|
|
|
||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3. Числовой ряд |
an сходится, если существует конечный предел последователь- |
||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
Sn S . Число S |
|
|
ности его частичных сумм lim |
называется суммой ряда ( an S ). |
||||
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числовой ряд an расходится, если lim Sn или не существует. |
|
||||
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства сходящихся рядов. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1. |
Если сходится ряд |
an , то сходится и ряд |
can (умножение ряда на константу не влияет на |
||
|
|
n 1 |
n 1 |
|
|
сходимость). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Если сходится ряд |
an , то сходится и ряд |
an . |
|
|
|
|
n 1 |
n k |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Если ряды an и |
bn сходятся, то сходится и ряд an bn . |
|
||
|
n 1 |
n 1 |
|
n 1 |
|
Необходимое условие сходимости. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Если числовой ряд an сходится, то lim an 0 . |
|
||||
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие. Если lim an 0 , |
то ряд расходится. |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
(Если lim an 0 , то необходимый признак ответа не дает!!!)
n
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Ряды. Теория |
|
Признаки сходимости рядов с положительными членами |
|||||||
I. Признак сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряды |
an , an 0 и |
bn , bn 0 . Пусть существует номер N такой, что при |
||||||
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n N выполнено неравенство 0 an bn . Тогда |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Если ряд bn |
сходится, то ряд |
an тоже сходится. |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если ряд an |
расходится, то ряд bn тоже расходится. |
|
|
|
|
|
||
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
II. Предельный признак сравнения. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a |
n |
|
0 |
|
Рассмотрим ряды |
an , an 0 и |
bn , bn 0 . Если |
lim |
|
|
q |
, |
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
n 1 |
n bn |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ряды an и |
bn сходятся или расходятся одновременно. |
|
|
|||||
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряды для сравнения:
1
1)(ряды Дирихле):
n 1 n |
|
|
|
|
а) 0 1 |
- ряд расходится ( 1 |
|
1 |
|
|
|
- гармонический ряд); |
||
|
||||
|
|
n 1 n |
|
б) 1 - ряд сходится.
n
2)aq (геометрическая прогрессия):
n 1
а) 0 q 1 - ряд сходится; б) q 1 - ряд расходится.
III. Признак Даламбера.
|
|
|
an 1 |
|
|
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть lim |
q . Тогда |
||||
an |
|||||
|
n 1 |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
1) |
если q 1 , то ряд |
an сходится, |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
если q 1 , то ряд |
an расходится, |
|
|
n1
3)если q 1 , то признак Даламбера ответа не дает.
3 |
Ряды. Теория |
IV. Радикальный признак Коши.
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть lim n |
an |
q . Тогда |
||
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
если q 1 , то ряд |
an сходится, |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
если q 1 , то ряд |
an расходится, |
|
n1
3)если q 1 , то признак Коши ответа не дает.
V. Интегральный признак Коши.
|
y f x , x 1 - непрерывная неотрицательная невозраста- |
|
Рассмотрим ряд an , an 0 . Пусть |
||
n 1 |
|
|
ющая функция и an f n . Тогда ряд |
|
|
an и интеграл |
f ( x )dx сходятся или расходятся одно- |
|
|
n 1 |
1 |
|
|
временно.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Ряды. Теория |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знакочередующиеся ряды |
|
|||||
Знакочередующимся рядом называется сумма вида: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
1 n a |
n |
a |
a |
2 |
a |
3 |
a |
4 |
..., |
a |
n |
0 |
|
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
1 n 1 a |
n |
a |
|
a |
2 |
a |
3 |
a |
4 |
..., |
a |
n |
0 |
|
||||||||||
|
n 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Если ряд an |
сходится, то ряд |
|
1 n an сходится абсолютно. |
|
|||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Если ряд an |
расходится, то для ряда |
1 n an проверяем признак Лейбница: |
|||||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
а) N : n N an an 1 (т.е. существует номер N , начиная с которого последовательность an убывает),
б) lim an 0 .
n
Тогда ряд 1 n an сходится условно.
n 1
Оценка остатка ряда Лейбница
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть ряд |
|
1 n an сходится (абсолютно или условно) и удовлетворяет условиям: |
||||||||||||||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) N : n N an an 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) lim an 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим через Sn |
1 k ak - |
n -ю частичную сумму, Rn |
1 k ak - n -й остаток: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k n 1 |
||
|
|
|
|
|
a |
a |
2 |
a |
3 |
a |
4 |
... 1 n a |
n |
1 n 1 a |
n 1 |
... |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Sn n я частичная сумма |
|
Rn n й остаток |
||||||||
Тогда: 1) |
|
Rn |
|
an 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
R |
|
по знаку совпадает с 1 n 1 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
1)Произвольная перестановка членов абсолютно сходящегося числового ряда не нарушает его сходимости и не изменяет сумму ряда.
2)Теорема Римана (о перестановке членов условно сходящегося числового ряда):
При перестановке членов условно сходящегося числового ряда можно произвольным образом изменить сумму ряда, а также сделать ряд расходящимся.
5 |
|
Ряды. Теория |
Функциональные ряды |
|
|
Функциональным рядом называется сумма вида: |
|
|
u1 x u2 x ... un x ... |
|
|
un x , |
(1) |
|
|
n 1 |
|
где функции u1 x , u2 x ,... имеют общую область определения. |
|
Для каждого x x0 из области определения функциональный ряд (1) обращается в числовой ряд
u1 x0 u2 x0 ... un x0 ... |
|
. |
|
un x0 |
(2) |
||
|
n 1 |
|
|
Если ряд (2) сходится, то x x0 называется точкой сходимости ряда (1). Множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда.
Равномерная сходимость
Определение. Сходящийся функциональный ряд называется равномерно сходящимся на интер-
вале a, b , если последовательность Sn x его частичных сумм равномерно сходится на этом
интервале, то есть для 0 N N : n N , x a, b |
|
S x Sn x |
|
. |
|||||||
|
|
||||||||||
Признак Вейерштрасса (достаточное условие равномерной сходимости): |
|
|
|
||||||||
|
|
сходится на интервале a, b и существует сходящийся зна- |
|||||||||
Пусть функциональный ряд un x |
|||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коположительный числовой ряд an такой, что |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
un x |
|
an , x a, b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда ряд |
un x сходится равномерно на интервале a, b . |
|
|
|
|
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряд an |
называется мажорирующим рядом, или мажорантой для ряда |
un x на интервале |
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||
a, b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства равномерно сходящихся рядов |
|
|
|
|||||||
1) Если функции un x непрерывны на интервале a, b , n 1, 2,... и ряд |
|
|
|
||||||||
|
|
un x сходится рав- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
||
номерно на этом интервале, то сумма ряда S x непрерывна на интервале a, b . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Если функции un x непрерывны на отрезке a, b , n 1, 2,... и ряд un x сходится равно- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|||
мерно на этом отрезке, то его можно почленно интегрировать на отрезке a, b : |
|||||||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
un x dx |
un x dx |
|
|
|
|||||
|
a n 1 |
|
|
n 1 a |
|
|
|
|
6
3) Если функции un x непрерывно дифференцируемы на интервале a, b , n 1,
|
|
|
|
un x сходится, а ряд |
|
|
|
un x сходится равномерно на этом интервале, то ряд |
|||
n 1 |
n 1 |
|
a, b : |
почленно дифференцировать в точках интервала |
Ряды. Теория
2,... и ряд
un x можно
n 1
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
un x |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
для x a, b . |
|
|||
un x |
|
||
|
n 1 |
|
|
Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида:
|
a |
x x |
a |
|
x x |
2 ... a |
|
x x |
n ... |
|
|
x x |
n , |
|
a |
2 |
n |
a |
n |
(3) |
|||||||||
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
n 0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a0 , a1 , a2 , ... - коэффициенты степенного ряда.
В точке x x0 ряд (3) сходится.
Теорема Абеля: Если степенной ряд (3) сходится в точке x x1 , то он сходится абсолютно при
x : x x0 x1 x0 .
Следствие: Если степенной ряд (3) расходится в точке x x2 , то он расходится при x :. x x0 x2 x0 .
Теорема: У любого степенного ряда (3) существует R - радиус сходимости, такой, что
1)при x : x x0 R ряд (3) сходится абсолютно;
2)при x : x x0 R ряд (3) расходится;
3)в точках x x0 R необходимо дополнительное исследование;
4)на любом отрезке b, c x0 R, x0 R ряд сходится равномерно.
Интервал x0 R, x0 R называется интервалом сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости ищут по признакам Даламбера и радикальному Коши.
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряды. Теория |
||
|
|
|
|
Ряд Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема: Если функция |
f x бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки |
|
||||||||||||
x x0 (на интервале x0 |
, x0 ), и для любого x из этой окрестности |
lim |
Rn x 0 , то в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
этой окрестности точки x x0 функция |
f x может быть разложена в ряд Тейлора: |
|
|
|
||||||||||
f x f x0 f x0 x x0 f x0 x x0 2 ... f |
n |
x0 x x0 n ... |
f |
n |
x0 x x0 |
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
n! |
n 0 |
n! |
|
Теорема единственности:
Если функция f x бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки x x0 и разложена в этой окрестности в степенной ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f n x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(то есть ряд (*) является рядом Тейлора функции f x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то an |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При x0 0 ряд Тейлора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
0 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
0 n |
|
|
|
|
f |
0 |
n |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x f 0 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
... |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
называется рядом Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица разложений элементарных функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
e x 1 x |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
, |
|
|
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a x eln a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||||
|
e x ln a |
|
1 x ln a x ln a |
|
|
|
x ln a |
|
|
... |
x ln a |
... |
x ln a |
, |
x R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
n 0 |
|
n! |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
e x |
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
chx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
, |
|
|
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2! |
|
|
4! |
|
2n ! |
2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
e x |
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
shx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
, |
|
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3! |
|
|
5! |
2n 1 ! |
|
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
... 1 n |
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
x |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|
2n ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
... 1 n |
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
, |
x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 ! |
|
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n 1 |
|
x 1, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
arctgx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 n |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 3 |
|
x5 |
|
1 3 5 |
|
x5 ... |
2n 1 !! x2n 1 |
|
|
|
1, |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arcsin x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! 2n 2n |
1 |
..., |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
2! 22 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3! 23 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряды. Теория |
|
|
|
1 x |
1 |
x |
2 |
|
1 2 |
x |
3 |
... |
1 2 ... n 1 |
x |
n |
..., |
x 1, 1 |
||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x x2 |
|
x3 |
... 1 n xn |
... 1 n xn , |
x 1, 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x x2 |
|
x3 |
... xn ... |
xn , x 1, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln 1 x x |
x |
2 |
|
|
|
x |
3 |
... 1 n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
1 n |
1 |
x |
n |
|
1, 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
, x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ln 1 x x |
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
x |
n |
|
x 1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
... |
|
|
... |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
Ряды. Теория |
Ряд Фурье |
|
Пусть f x - функция периода 2 , интегрируемая на отрезке , . Рядом Фурье функции f x называется ряд
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a cos nx b sin nx , |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||
коэффициенты которого определяются по формулам: |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
an |
|
f x cos nxdx, |
n 0,1, 2,..., |
(*) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
f x sin nxdx, |
n 1, 2,... |
|
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема (условие Дирихле): |
|
определена и кусочно-дифференцируема на отрезке , . |
|||||||||
Пусть функция f x периода |
2 |
Тогда ряд Фурье сходится к f x в каждой точке непрерывности (т.е. f x разлагается в свой ряд
Фурье), и к |
f x 0 f x 0 |
|
, если x - точка разрыва функции. |
|||
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если функция удовлетворяет на отрезке , условию Дирихле, то |
||||||
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
f x |
a |
cos nx b sin nx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
n |
n |
|
|
|
|
n 1 |
|
||
во всех точках непрерывности функции f x . |
|
|||||
Теорема: Если функция f x |
периода 2 непрерывна на всей действительной оси и имеет кусоч- |
|||||
но-непрерывную производную, то ее ряд Фурье равномерно сходится к f x . |
Теорема единственности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если функция f |
x периода 2 представима в виде суммы тригонометрического ряда |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f x |
|
|
a |
|
cos nx b sin nx , |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
||||
равномерно сходящегося при x , то ak , bk |
- коэффициенты Фурье (вычисляются по формулам |
||||||||||||||||
(*)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для коэффициентов ряда Фурье справедливо равенство Парсеваля: |
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f 2 x dx |
a0 |
|
an2 bn2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если f x - четная функция ( f x f x ), то |
f x cos nx - четная функция, а |
f x sin nx - нечет- |
|||||||||||||||
ная функция. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
f x cos nxdx, |
n 0,1, 2,..., |
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
bn 0, |
n 1, 2,... |
|
||||||||
то есть функция |
f x разлагается в ряд Фурье по косинусам: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
a0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
f |
|
an cos nx . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
Ряды. Теория |
||
Если f x - нечетная функция ( f x f x ), то |
|
f x cos nx - нечетная функция, а |
f x sin nx - |
||||||||||||||||||||||||||
четная функция. Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 0, |
|
n 0,1, 2,..., |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
bn |
|
f x sin nxdx, |
n 1, 2,... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то есть функция |
f x разлагается в ряд Фурье по синусам: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn sin nx . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f x - функция периода 2l , удовлетворяющая на отрезке l, |
l условию Дирихле, то |
||||||||||||||||||||||||||||
|
f x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nx |
|
|
nx |
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
cos |
|
b |
sin |
|
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
|
l |
n |
|
l |
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
l |
|
|
f x cos |
nxdx, |
n 0,1, 2,... |
|
|
|
||||||||||||||||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
bn |
1 |
|
|
l |
|
f x sin nxdx, |
n 1, 2,... |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Равенство Парсеваля принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
f 2 x dx |
a0 |
|
an2 bn2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
l l |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Если f x - четная функция, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
an |
|
|
f x cos nxdx, |
n 0,1, 2,... , |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn 0, |
|
n 1, 2,... |
|
|
|
|
|
||||||||
то есть функция |
f x разлагается в ряд Фурье по косинусам: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
f |
|
x |
|
|
an cos nx . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если f x - нечетная функция, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n 1 |
|
l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 0, |
|
n 0,1, 2,..., |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
l |
|
|
|
|
|
|
nxdx, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
bn |
|
f x sin |
n 1, 2,... |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то есть функция |
f x разлагается в ряд Фурье по синусам: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
sin nx . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
l |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|