Вопрос 25. Порядок элемента конечной группы. Соотношения между порядком элемента и порядком группы.

Число элементов конечной группы - порядок группы.

Если все степени элемента a группы являются различными элементами группы, то a называется элементом бесконечного порядка. Если же среди них имеются одинаковые (в случае конечной группы это обязательно имеет место), например, a^k = a^l, k > l, то a^k−l = 1.Это означает, что существуют степени, равные 1.

Порядок элемента a группы - наименьшее целое n > 0, при котором aⁿ = 1, иными словами, если n есть порядок элемента a, то 1) aⁿ = 1при n > 0, и 2) если a^k = 1, k > 0,то k ≥ n.

В этом случае говорят, что a есть элемент порядка n. Отсюда, умножив обе части "aⁿ = 1" на a⁻¹, сразу имеем

a⁻¹ = aⁿ⁻¹.

Если элемент a имеет порядок n, то:

1) Все элементы 1, a, . . . , aⁿ⁻¹ различны.

2) Всякая другая степень элемента a, положительная или отрицательная, равна одному из этих элементов.

Если a^k = a^l, и n − 1 ≥ k > l ≥ 1, то a^k−l = 1, что противоречит условию теоремы, так как k − l < n.

Далее, если k = nq + r, где 0 ≤ r < n, то a^k = (aⁿ)^qa^r = a^r. Наконец, если a^k = 1, то и a^r = 1. Отсюда a^k = (aⁿ)^q, и k кратно n.