Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Теоретический минимум.docx
Скачиваний:
5
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
134.95 Кб
Скачать

Вопрос 25. Порядок элемента конечной группы. Соотношения между порядком элемента и порядком группы.

Число элементов конечной группы - порядок группы.

Если все степени элемента a группы являются различными элементами группы, то a называется элементом бесконечного порядка. Если же среди них имеются одинаковые (в случае конечной группы это обязательно имеет место), например, ak = al, k > l, то akl = 1.Это означает, что существуют степени, равные 1.

Порядок элемента a группы - наименьшее целое n > 0, при котором an = 1, иными словами, если n есть порядок элемента a, то 1) an = 1при n > 0, и 2) если ak = 1, k > 0,то k ≥ n.

В этом случае говорят, что a есть элемент порядка n. Отсюда, умножив обе части "an = 1" на a1, сразу имеем

a1 = an1.

Если элемент a имеет порядок n, то:

1) Все элементы 1, a, . . . , an1 различны.

2) Всякая другая степень элемента a, положительная или отрицательная, равна одному из этих элементов.

Если ak = al, и n − 1 ≥ k > l ≥ 1, то akl = 1, что противоречит условию теоремы, так как k − l < n.

Далее, если k = nq + r, где 0 ≤ r < n, то ak = (an)qar = ar. Наконец, если ak = 1, то и ar = 1. Отсюда ak = (an)q, и k кратно n.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.