Вопрос 5. Понятие множества. Основные операции на множествах. Свойства операций на множестве (ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность). Декартово произведение множеств.

Определение 1:

Множество — это совокупность (собрание, семейство) каких-либо реально существующих или

мыслимых объектов, объединенных по некоторому признаку. Предполагается, что объекты, входящие в множество, попарно различны. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами. Множества и элементы множеств обозначаются различными буквами без индексов и с индексами. При этом, как правило, множества и элементы отождествляются с их обозначениями.

Определение 2:

Объединением множеств А, В называется множество A U В, состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств А, В. А U В = {m:m € A или m € B}

Определение 3:

Пересечением множеств А, В называется множество А∏В, состоящее из всех тех элементов, которые содержатся в обоих множествах А, В. A∏B = {m:m € A и m € B}

Определение 4:

Декартовым произведением множеств А, В называют множество А х В, состоящее из всевозможных упорядоченных пар вида (а, b), где а € А, b € В: A*B = {(a,b):a € A, b € B}

Определение 5:

Разностью множеств А, В называют множество А\В, состоящее из всех элементов множества А, не содержащихся в В: A\B = {m:m € A и m B}

Вопрос 6. Отображения множеств. Свойства отображений.

Определение 1:

Пусть А, В — произвольные множества. Отображением множества А в множество В называют всякое правило f, по которому каждому элементу множества А сопоставляют вполне определенный (единственный) элемент множества В. Тот факт, что f есть отображение А в В, кратко записывают в виде: f: А->В.

Если при этом элементу а из A сопоставлен элемент Ь из В, то b называют образом элемента а, а а — прообразом элемента b при отображении f, что записывается в виде f(а) = b.

Определение 2:

Отображение f:A—>B называется сюръективным , если каждый элемент из В является образом хотя бы одного элемента из А, то есть f(A) = B.

Определение 3:

Отображение f:A—>B называется инъективным, если оно разные элементы множества А отображает в разные элементы множества В. Инъективные отображения называют также вложениями.

Определение 4:

Отображение f:A—>B называется биективным, или взаимно однозначным отображением А на, В, если оно сюръективно и инъективно.

Определение 5:

Отображение f: А —> В называется обратимым, если существует такое отображение : В —> А, что f = е, f= е. При этом отображение называется обратным для f.

Утверждение 1:

Отображение f:A—>B обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно.

Определение 6:

Множества А и В называют равномощными, и пишут |А| = |B|, если существует биективное отображение f: А —> В.

Определение 7:

Множество А называется конечным, если оно пусто или равномощно отрезку натурального ряда N. В последнем случае число n называют мощностью множества А, а само А — n-элементным множеством. Мощность пустого множества считается равной нулю. Все остальные множества называются бесконечными.

Утверждение 2:

Если А и В — конечные и равномощные множества, то для любого отображения f: А —► В эквивалентны условия:

а) f — сюръективно;

б) f — инъективно;

в) f — биективно.

Доказательство утверждения 2:

Из определений видно что для доказательства утверждения 2 достаточно установить эквивалентность а) и б). Пусть f — сюръективно, т. е. f(A) = В. Тогда |B| = |f(A)| = || . Так как || = 1 при любом а € A, то равенство ||= |А| возможно лишь в том случае, когда f(a1)≠ f(a2) при любых значениях a1.a2 € А. Это означает, что f — инъективно. Обратно, пусть f — инъективно. Тогда оно разные элементы отображает в разные, и поэтому |f{A)| = || = |A|.Отсюда и из условия |A| = |B| имеем: |f(A)| = |B|. Теперь, учитывая включение f(A) c В и конечность множества В, получаем: f(A) = В. Следовательно, f — сюръективно.

Доказано.

Свойства отображений:

Определение 8:

Композиций отображений :В —► С и :A —► Bназывается отображение о A —► С, определенное условием ( о )(a) = ( (a)). Для любого элемента a € А. То же самое отображение называют еще произведением отображений и и обозначают в виде . Таким образом, ()(a) = (

Утверждение 1:

Если :А —► В, :B —► C, :C —► D, то ( о ) о = о ().

Доказательство утверждения 1. Найдем образ элемента а из А при действии отображений,

записанных в левой и правой частях равенства:

(( о ) о )(a) = ( о )( (а)) = ( ( (а)))

()(a) = (()(a)) = ( ( (a)))

Утверждение 2:

Если отображения :А —► В, :В —► C сюръективны, инъективны или биективны, то соответственно таким же будет и отображение ¥ = = .

Доказательство утверждения 2. Действительно, из сюръективности и , следует соответственно для любого с € С существует такой элемент b € В, что , и такой элемент а € А, что (a) = b. Отсюда имеем: ¥(a) = ((a)) = (b) = c, и отображение ¥ - сюръективно. Если же , инъективны и а1 ≠ а2, то ≠ и ≠ , ¥(a1) ≠ ¥(a2), ¥ - инъективно. Заметим, что обратные утверждения в общем случае неверны.

Доказано.