Вопрос 1. Методы математических доказательств (метод непосредственной проверки, метод доказательства от противного, метод математической индукции).
1) Метод непосредственной проверки:
Этим методом обычно доказывают равенства или некоторые другие соотношения, а само доказательство заключается в осуществлении последовательности действий, существо и порядок которых определяются
самой формулировкой доказываемого утверждения.
2) Метод доказательства от противного:
Для доказательства этим методом некоторого утверждения А допускают, что утверждение А ложно, то есть истинно его отрицание A*. Далее, с использованием утверждения А* доказывают некоторое заведомо ложное утверждение F и из этого делают вывод о том, что сделанное предположение о ложности А неверно, и поэтому А — истинно. В основе этого метода лежит логическое правило (А* => F, F == л) => А.
3) Метод полной математической индукции:
Этот метод применяют для доказательства таких утверждений, в формулировке которых участвует числовой параметр n, принимающий все значения из множества N натуральных чисел. Процесс доказательства методом полной математической индукции состоит из двух этапов.
А) Доказывают, что утверждение A(t) истинно при t = 1 (это чаще всего удается сделать непосредственной проверкой).
Б) Исходя из допущения, что утверждение A(t) верно для произвольного фиксированного значения t = n доказывают его истинность при t = n + 1.
1 МЕТОД.
Теорема:
Модуль
смешанного произведения численно равен
объёму параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
.
Доказательство:
Доказано.
2 Метод.
Докажем одно из следствий аксиом линейного пространства.
Например: Единственность ноль вектора.
Допустим,
что есть 2 ноль вектора
.
По определению:
Положим:
=>
Предположение оказалось неверным => ноль вектор единственен
Доказано.
3 Метод.
Доказать
методом математической индукции, что
Доказательство:
1)
Проверяем верность данной формулы при
n=1. Левая часть = 1. Правая часть
=1.
Значит формула верна для n=1.
2)
Предполагая, что данная ф-ия верна для
некоторого n>1, докажем что при n+1 имеет
место такая же формула:
.
Действительно:
ч.т.д.
Делаем
вывод на основании математической
индукции, что формула верна для
.
Вопрос 2. Формула Бинома Ньютона.
Для любого натурального числа n справедлива формула:
– формула
Бинома Ньютона.
Доказательство:
Метод математической индукции.
1) Проверяем верность формулы при n=1:
2) Предполагая, что формула верна для некоторого n, покажем, что она верна для n+1 т.е. докажем справедливость формулы:
Действительно, используя сначала свойства степени с натуральным показателем, далее исходную формулу Бинома Ньютона и правило перемножения многочленов получим:
Приводя подобные члены имеем:
,
откуда в силу того, что
Из
1) и 2) на основании метода математической
индукции заключаем, что формула верна
Теорема Доказана.
Следствия:
1)Число всех членов разложения на единицу больше показателя Бинома. Это видно из самой формулы.
2)Сумма показателей степени при a и b в любом слагаемом разложения равна n – показателю степени Бинома.
3)Биномиальные
коэффициенты, равноудалённые от концов
разложения равны между собой, т.к.
4) Общий член разложения имеет вид:
Положив k=0,1,2…n получаем первый, второй и другие члены разложения.
Например
5)Сумма
всех биномиальных коэффициентов равна
Действительно, полагая a=b=1 получим:
6)Число
всех подмножеств n-элементного
множества равно
.
Также
формула имеет вид
