Чистый сдвиг

Частный случай плоского напряженного состояния - отличные от нуля главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку - чистый сдвиг.

При ₁ = - ₃ получим _a = ₁cos² α + ₃sin² α = ₁(cos² α - sin² α) = - ₁cos2α;

_ = (₁ - ₃) sin 2α/2 = ₁ sin2 α

максимальное касательное напряжение при α = 45° _ = ₁ и _α=45 = _α=135 а_а= 0, т.е. нормальные напряжения отсутствуют.

Итак: чистый сдвиг - единственный случай существования 2 взаимно перпендикулярных площадок с максимальным касательным напряжением и отсутствующими нормальными.

Иначе: чистый сдвиг - плоское напряжённое состояние, при котором можно выделить элемент таким образом, чтобы на четырёх его гранях были только равные между собой касательные напряжения.

Рассмотрим деформацию сдвига: выделим элемент, по граням которого возникают только касательные напряжения

Одну из граней считаем неподвижной, прямоугольник принимает при деформации форму параллелограмма. Мерой деформации сдвига служит угол сдвига γ (измеряется в радианах). Возникающее касательное напряжение τ определяется законом Гука при сдвиге:

τ = γ G,

G - упругая постоянная материала при деформации сдвига (модуль упругости 2 - рода). Между модулем продольной упругости, модулем сдвига и коэффициентом Пуассона существует связь

G = Е/2(1 + μ)

Удельная энергия деформации при чистом сдвиге

u = τ² /2G (при растяжении u = ²/2Е).

На практике детали (заклёпки, штифты, болты и др.), используемые в соединениях, испытывают нагрузки перпендикулярные продольной оси, т.е. подвергаются деформации сдвига: в поперечном сечении возникает поперечная сила Q и возникающие касательные напряжения по площади поперечного сечения распределены равномерно; если соединение осуществляется несколькими одинаковыми деталями считается, что они нагружены одинаково. Разрушение происходит путем перерезывания по плоскости соединения соединяемых деталей, соответствующее напряжение - напряжение среза = Q/A_cр. Условие прочности τ_ср < [τ_ср]. Q - усилие на одну деталь.

Расчёт на срез обеспечивает прочность соединительных элементов, но не гарантирует надёжность всей конструкции: соединяемые элементы в стенках отверстий обминаются и соединение становится ненадежным.

Давление между поверхностями отверстий и соединительных деталей называют напряжением смятия _см. Расчёт, при котором выбираются размеры, не претерпевающие значительных деформаций, - расчёт на смятие:

_см = F/A_см < [_см]. F - усилие на одну деталь.

[τ_ср] = (0,25...0,35) _т, _т, - предел текучести материала соединительной детали; [_см] - допускаемое напряжение на смятие. Обе величины для применённого материала находятся по справочнику.

Общий случай плоского (двухосного) нагружения при сдвиге

По граням параллелепипеда действуют только нормальные напряжения ₁ и ₂. В наклонном сечении, расположенном под углом α (угол отсчитываем против часовой стрелки) суммарные напряжения в наклонном сечении определятся:

_α = ₁ cos² α + ₂ cos² (π/2 - α) = ₁ cos² α + ₂ sin² α

_ = ₁ / 2sin2α + ₂ /2sin 2(π/2 - α) = (₁ - ₂)/2 sin2α.

Ранее было отмечено, что при ₁ =  и ₂ = -  при угле 45° получим _α=0, а _ =  и при угле 135° _α = 0, а _ = -  (чистый сдвиг и касательные напряжения по граням направлены либо оба к ребру, либо оба от ребра.

Определим на основе закона Гука деформации в направлении главных напряжений (при этом учтем связь продольных и поперечных деформаций).

Не забываем о принципе независимости действия сил и свойстве тел при деформации сохранять неизменным объём (каждое главное напряжение создаёт продольную и поперечную деформации):

₁ создаёт две деформации ε₁₁ = ₁/E и ε₂₁ = - μ₁/Е

₂ создаёт две деформации ε₂₂ = ₂/Е и ε₁₂ = - μ₂/Е

суммируя деформации по каждому направлению, получим:

ε₁ = ε₁₁ + ε₂₁ = ₁/E - μ₂/Е и ε₂ = ε₂₂ + ε₁₂ = ₂/Е - μ₁/Е.

последние 2 формулы носят название обобщенного закона Гука для плоского (двухосного) напряжённого состояния. При решении обратной задачи можно по замеренным деформациям ε₁ и ε₂ определить напряжения ₁ и ₂ вдоль вертикального и горизонтального направлений:

₁ = Е(ε₁ + μ ε₂)/(1 - μ²)

₂ = Е(ε₂ + μ ε₁)/(1 - μ²).