Напряжения и перемещения при кручении бруса круглого поперечного сечения

Теория кручения круглого бруса основана на допущениях:

1.Гипотеза Бернулли: поперечные сечения - плоские и нормальные оси до деформации, такими остаются и при деформировании.

2.Поперечные сечения остаются круглыми, их радиусы не изменяют своей длины и не искривляются.

3.Материал бруса при деформации следует закону Гука.

4.Расстояние между сечениями не изменяется (не возникают продольные силы).

Рассмотрим брус, жестко защемлённый одним концом, а на свободном конце нагруженный скручивающим моментом М:

При деформации поперечные сечения бруса повернутся на некоторый угол, угол будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки (угол поворота сечения равен углу закручивания части бруса, лежащей между заделкой и сечением).

В любой точке поперечного сечения касательное напряжение перпендикулярно радиусу, проведенному в исследуемую точку:

Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку dA, равна τdА, а её момент относительно продольной оси dM_z = τdAρ. Просуммировав элементарные моменты получим M_z = ∫ ρτdA.

Рассмотрим деформацию: точка В перейдёт в В₁, её сдвиг характеризуется углом сдвига γ_мах, BВ₁ = rdφ, tgγ = BВ₁/dz; и учитывая tgγ ≈ γ получим для поверхности γ_мах = rdφ/dz, для произвольного радиуса γ = ρdφ /dz.

По закону Гука для сдвига τ = Gγ получим τ = Gρdφ/dz. Подставив в интеграл получаем M_z = G dφ/dz∫ ρ²dA; интеграл - полярный момент инерции сечения J_ρ. После чего можно записать M_z = G J_ρ dφ/dz.

Откуда dφ/dz = M_z/GJ_ρ. Подставим это выражение в формулу для τ окончательно имеем τ = M_z ρ/J_ρ. Из последнего следует: касательное напряжение можно определить в любой точке сечения и вдоль любого радиуса оно распределено по линейному закону (пропорционально его величине). В точках равноудалённых от центра сечения напряжения одинаковы и достигают максимума в точках контура сечения.

τ_max = M_zr/ J_ρ.

Ранее мы имели dφ = M_zdz / GJ_ρ. Если диаметр бруса постоянен и крутящий момент во всех сечениях одинаков, а длина бруса 1, то угол закручивания свободного конца бруса

φ = M_zl / GJ_ρ.

Произведение, стоящее в знаменателе, GJ_ρ называют жёсткостью сечения круглого бруса при кручении.

Для кольцевого бруса диаметром Dxd J_ρ = π/32(D⁴- d⁴).

Прочность бруса при кручении считают достаточной, если наибольшее касательное напряжение не превышает допускаемое для выбранного материала, т.е. т_мах ≤ [τ_к], [τ_к] = τ_т /[n_т]; для стали принимают

[τ_к] ≈ (0,55...0,6)[σ], для чугуна [τ_к] ≈ (0,7...0,8)[σ _p].

При кручении также, как и при других видах деформации, внешние силы совершают работу, идущую на запас потенциальной энергии в деформируемом брусе. Для участка бруса, в пределах которого М = const и J_ρ = const запасённая энергия W = М² 1 / (2G J_ρ).

Геометрические характеристики плоских сечений

При рассмотрении деформаций растяжения (сжатия) и кручения использовалась площадь поперечного сечения, которая являлась геометрической характеристикой прочности и жёсткости при равномерном распределении напряжений по поперечному сечению. При работе бруса на кручение появилась более сложная геометрическая характеристика - полярный момент инерции. Рассмотрим специальные геометрические характеристики плоских сечений, используемые при расчётах на изгиб и в ряде других случаев. Вычисление этих характеристик связано с определением координат центра тяжести сечения (геометрическая характеристика при этом - статический момент инерции); при изучении вращательных движений вокруг различных осей используют моменты инерции. Остановимся на них более подробно.

Статические моменты плоских сечений

Статическим моментом плоского сечения относительно оси ОХ называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до соответствующих осей, т.е.

S_x = ∫xdA, S_y = ∫ydA

При известных статических моментах и площади сечения координаты его центра тяжести определяются

X_c = S_x/A., Y_с = S_y /А.

Таким образом статический момент относительно любой оси, проходящей через центр тяжести (центральной оси) равен нулю. Если сечение можно разбить на простейшие части, для которых известны положения центров тяжести, для всего сечения координаты центра тяжести определятся по формулам

Х_с = (А₁х₁ + А₂х₂ +...+ А_пх_п)/(А₁ + А₂+...+А_п)

У_с = (А₁у₁ + А₂у₂ +...+ А_пу_п)/(А₁ + А₂ +...+ А_п).

Осевые и центробежные моменты инерции плоских сечений

Осевым моментом инерции плоского сечения относительно оси называют взятую по всей площади сечения сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси

J_x ⁼ ∫у² dA, J_y = ∫x²dA, после чего полярный момент J_p = ∫ρ² dA можно выразить J_p = J_x + J_y.

Иногда встречается с центробежным моментом инерции J_xy = ∫ xydA.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (главными осями инерции). Через любую точку в плоскости сечения можно провести пару главных осей. В зависимости от расположения осей знак центробежного момента может быть положительным, отрицательным и равным нулю (в процессе поворота осей в какой-то момент изменении их положения). Эти оси и называют главными. Наибольший практический интерес представляют главные центральные оси - оси проходящие через центр тяжести (их называют главными осями). Для их нахождения при симметричном сечении достаточно найти положение центра тяжести. Одной из главных центральных осей будет ось симметрии, а второй - перпендикулярная ей. Ось симметрии и любая перпендикулярная ей образуют систему главных осей. Осевые моменты инерции относительно главных - центральных осей называют главными центральными моментами инерции (относительно одной оси он максимален; относительно другой - минимален). Если два главных центральных момента инерции одинаковы, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.

Зависимость между моментами инерции

относительно параллельных осей.

При переходе от центральной оси к параллельной ей нецентральной

J_x1 = J_хо + а² А, J_yl = J_yo + с²А, в этих выражениях а и с - расстояния от соответствующих осей, а А - площадь сечения.

Моменты инерции простейших сечений.

Для круга в плоской декартовой системе относительно осей, проходящих через центр J_x = J_y = πd⁴ /64.

Для кольца J_x = J_y = πd⁴ /64(1 - (d₀ /d)⁴).

Для полукруга вдвое меньше, чем для круга J_x = J_y = πг⁴/8.

Для прямоугольника при высоте h вдоль У, а ширине b вдоль X

J_x = bh³/12 и J_y = hb³/12.

Для треугольника с основанием b совпадающем с X и высотой h

J_x=bh³/12, для центральной оси параллельной X

J_xl=by³/36.