Нормальные напряжения при изгибе

При поперечном прямом изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные и касательные напряжения. Когда поперечная сила равна нулю (чистый изгиб) в поперечном сечении касательные напряжения отсутствуют.

Закон распределения нормальных напряжений получим приняв следующие допущения:

1.При чистом прямом изгибе поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются такими и после деформации (гипотеза Бернулли).

2.Волокна бруса при деформации не надавливают друг на друга.

Рассмотрим балку, изображённую ниже; определим опорные реакции (в силу симметрии R_A = R_B = F); строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и приходим к выводу - средняя часть без поперечных сил - чистый изгиб. Выделим участок dz и изобразим его рядом деформированным и в увеличенном масштабе:

В нейтральном слое п-п длина волокон не меняется, а только изгибается, определим линейную деформацию произвольного волокна м-м на расстоянии у от нейтрального слоя. Длина этого волокна после деформирования равна (p + y)dθ, до деформирования все волокна имели длину dz. Абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Δ(dz) = (p + y)dθ - dz, следовательно

ε = Δ(dz)/dz = [(p + y)dθ - dz]/dz, но dz = ρdθ, значит s = y/ρ.

Применяя закон Гука, σ_z = Eε = Ey/ ρ.

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения прямо пропорциональны её расстоянию от нейтральной оси (по высоте сечения нормальные напряжения изменяются по линейному закону); по ширине распределены равномерно и не зависят от X.

Нейтральная ось имеет нормальные напряжения равные нулю и делит сечение на две зоны - с растягивающими и сжимающими напряжениями. Положение нейтральной - нулевой линии определим выражая продольную силу через нормальное напряжение

N_z = ∫σ_z dA = (E/ ρ) ∫ydA = 0, что означает ∫ydA = 0.

Последний интеграл - статический момент сечения относительно оси X - нейтральной оси (только в случае, если нейтральная ось - центральная, т.е. проходит центр тяжести сечения.

Радиус кривизны нейтрального слоя найдём из связи изгибающего момента и нормальных напряжений М_х = ∫σ_zydA = ∫(E/ρ)y² dA = (E/p)∫y²dA. Последний интеграл - момент инерции J_x относительно оси ОХ, т.е. М_х = EJ_x/ ρ.

Окончательно: 1/ρ = М_х /(EJ_X) и σ = Еу/ρ = (М_х/J_x)y в любой точке поперечного сечения.

При поперечном изгибе возникают и касательные напряжения, но они невелики, а потому при расчётах на прочность не учитываются.

Если материал пластичен - необходимо, чтобы в опасном сечении наибольшие нормальные напряжения не должны превышать допускаемых. При постоянном по длине поперечном сечении опасное сечение то, в котором возникает наибольший по модулю изгибающий момент.

Наибольшее нормальное напряжение в точках опасного сечения при максимальном удалении от нейтральной оси (опасные точки)

σ_max = M_xmaxy_max/J_x ≤ [σ] - такое же, как и при растяжении.

Если сечение симметрично относительно нейтральной оси, формула упрощается σ_мах = М_хмах /W_x ≤ [σ], a W_x = 2J_X /h,

h - высота сечения в направлении, перпендикулярном нейтральной оси. W_x - момент сопротивления при изгибе - геометрическая характеристика прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Значения моментов сопротивления прокатных профилей приведены в таблицах ГОСТов на соответствующие профили (двутавров и швеллеров).

Для круга W_x = πd³/32;

Для кольца W_x = 0,ld³(l-(D/d)⁴).

Для прямоугольника W_x = bh²/6.

Чем больше момент сопротивления и меньше площадь сечения, тем рациональнее форма сечения с позиции расходования материала.

Изменение положения сечения по отношению к действующей нагрузке существенно меняет прочность балки (вертикальное расположение гораздо выгоднее горизонтального: например для бруса h/b = 3, вертикальное расположение выдерживает нагрузку в 7,2 раза больше горизонтального).

Следует стремиться к тому, чтобы изгиб происходил в плоскости наибольшей жёсткости бруса.