Касательные напряжения при прямом поперечном изгибе
При чистом изгибе возникают только продольные напряжения, а при поперечном - нормальные и касательные. Из закона парности касательных напряжений следует: в продольных сечениях параллельных нейтральному слою также возникают касательные напряжения (для данной точки балки τzy на площадке поперечного сечения равно τyz на площадке продольного сечения в той же точке).
τ = τzy = τyz = Qy SXω/(JХ b),
Qy - поперечная сила; SXω - статический момент поперечного сечения относительно нейтральной оси (заштрихована на рис.); Jx-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; в - ширина сечения. Это так называемая формула Журавского.
В балке прямоугольного сечения максимальные касательные напряжения возникают в точках, в которых нормальные напряжения равны нулю (в крайних точках сечения при максимальных нормальных напряжениях касательные равны нулю).
Перемещения при изгибе
Рассмотрим простую консоль, нагруженную на свободном конце силой F, направление которой совпадает с одной из главных осей поперечного сечения. При деформации центры тяжести поперечных сечений получают линейные перемещения, а сами сечения поворачиваются вокруг своих нейтральных осей. Линейные перемещения перпендикулярны продольной оси недеформированного бруса (перемещения называют прогибами; прогиб произвольного сечения v; наибольший прогиб - стрела прогиба f; ось становится изогнутой и называется упругой линией, лежащей в силовой плоскости). Угол поворота поперечного сечения θ - угол между касательной и упругой линией в данной точке, т.е. отыскание перемещений сводится к исследованию формы упругой линии.
Вместо точного выражения кривизны можно приближённо
Мх /EJX ≈ 1/ρ ≈ d2 v/dz2 - дифференциальное уравнение упругой линии балки.
Рассмотрим формулу определения перемещений при изгибе:
Пусть требуется определить прогиб в точке К двухопорной балки в точке К нагруженной силой Т направленной вертикально.
Работа силы Т на перемещение ΔКТ определяется формулой WT = ТΔКТ /2; энергия деформации
VT = Σ ∫M2xT dz/2EJx; величина МхТ/Т - изгибающий момент вызванный единичной силой, его называют единичным моментом M1 .
Окончательная формула для определения перемещений
ΔКF = Σ ∫1 МхF M1 dz/ (EJX) - формула (интеграл) Мора.
Смысл этой формулы - это работа единичной силы при перемещении её точки приложения от заданной нагрузки. Если результат положителен - направление приложенной единичной силы совпадает с направлением перемещения; знак минус - направления противоположны.
Вычисления перемещений требуют:
-
составить уравнения изгибающих моментов МхF от заданной нагрузки;
-
нагрузку на балку заменить единичной силой в точке, для которой определяется перемещение;
-
составить уравнение моментов от этой единичной силы - М1;
-
вычислить сумму интегралов от обоих моментов, деленного на жесткость сечения.
Если жесткость сечения балки постоянна на всем ее протяжении
1/(ЕJx)∫ МхF М1 dz.
Вычисление интеграла Мора проводят графо - аналитическим способом (правило Верещагина). Каждое слагаемое - определенный интеграл, пределами которого являются абсциссы "с" и "d" сечений - границ рассматриваемого участка. Моменты, входящие в интеграл, представляют собой формулы изменения этих моментов по длине данного участка балки; графически - это эпюры изгибающих моментов f1 (z) = МхF, f2 (z) = М1. Если f1 - произвольная функция, а f2 - линейная
∫ f1 (z) f2 (z) dz = ∫ f1 (z)(kz + b) dz = k∫ f1 (z) z dz + b∫ f1 (z) dz; в этом выражении ω = ∫ f1 (z) dz площадь графика нелинейной функции (эпюры); Syω = ∫ f1 (z)z dz = ωzc - статический момент всей площади относительно оси ординат - произведение площади на координату центра тяжести. Вводя эти обозначения, получим
∫ f1 (z) f2 (z) dz = k ωzc + bω = ω(kzc + b),
в скобке - ордината графика линейной функции, соответствующая положению центра тяжести нелинейной функции, обозначая kzc + b = ηс получим ∫ f1 (z) f2 (z) dz = ω ηс.
Окончательно
ΔКF = Σ ω ηс/ ЕJx- правило Верещагина.
Для отдельного участка: перемещение участка равно произведению площади ω - нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату ηс линейной эпюры под центром тяжести нелинейной, деленному на жесткость сечения данного участка балки.
В целом необходимо просуммировать такие слагаемые для всех участков балки.