Дифференциальные зависимости между распределёнными нагрузками, поперечной силой и изгибающим моментом

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов упрощается при известных зависимостях между названными величинами и распределёнными нагрузками. Выведем их, для чего выделим из балки двумя поперечными сечениями на расстоянии dz бесконечно малый элемент (на рис. он в увеличенном масштабе изображён ниже):

На него слева и справа действуют поперечные силы и изгибающие моменты, возникающие в соответствующих сечениях (из-за малости участка и названные силовые факторы также отличаются на бесконечно малые величины).

Для выделенного элемента составим уравнения равновесия:

Q_y + qdz - (Q_y + dQy) = 0, откуда dQ_y / dz = q

Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределённой нагрузки.

Второе уравнение равновесия - уравнение моментов относительно К (места на оси второго сечения):

М_х + Q_ydz + (qdz) (z/2) - (М_х + dM_x ) = 0, пренебрегая , как величиной второго порядка малости, q(dz)²/2, получаем dM_x/dz = Q_y

Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе.

Беря от последнего уравнения производную по длине балки и учитывая первую дифференциальную зависимость, получим d M_x /dz = q.

Общие указания к построению эпюр

Целесообразно строить эпюры, вычисляя значения поперечных сил и изгибающих моментов только для сечений, совпадающих с границами участков и лишь в отдельных случаях определяя некоторые промежуточные значения (по характерным точкам). Одни из них - следствия дифференциальных зависимостей между q, Q_y и М_х; другие вытекают из метода сечений.

Правила построения эпюр по характерным точкам:

1.Если на некотором участке отсутствует распределённая нагрузка, эпюра поперечных сил - прямая параллельная оси абсцисс (Q_y = const); эпюра моментов - наклонная прямая (Q_y = const = dM_x/dz, следовательно М_х- линейная).

2.Если на некотором участке имеется равномерно распределённая нагрузка, эпюра поперечных сил - наклонная прямая, а эпюра М_х- парабола.

З.При поперечной силе > 0 - изгибающий момент возрастает, при < 0 -убывает; при равном нулю - изгибающий момент постоянен (чистый изгиб).

4.При прохождении в процессе непрерывного изменения поперечной силы через 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение (касательная к эпюре момента параллельна оси балки).

5.В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре поперечных сил происходит скачок на величину приложенной силы, а на эпюре М_х - резкое изменение угла наклона смежных участков эпюры.

6.В точках начала и конца приложения распределённой нагрузки параболическая и прямолинейная части эпюры моментов сопрягаются плавно при отсутствии сосредоточенных сил на границах указанного участка.

7.Если распределённая нагрузка направлена вниз, парабола изгибающих моментов обращена выпуклостью вверх - навстречу нагрузке.

8.В сечении на свободном или шарнирно опёртом конце балки при отсутствии сосредоточенной пары сил изгибающий момент равен нулю, если же она приложена - равен моменту этой пары. Поперечная сила в этом сечении равна сосредоточенной силе (активной или реактивной).

9.В точке приложения сосредоточенной пары сил на эпюре моментов скачкообразное изменение ординат, равное моменту этой пары. На эпюре поперечных сил это не отражается.

10.В сечении, совпадающем с заделкой, поперечная сила и изгибающий момент численно равны опорной реакции и реактивному моменту.