Деформации

Под действием нормальных напряжений происходит деформация: бесконечно малый по длине элемент dz удлинится на величину (dz) при одновременном уменьшении поперечного сечения а на величину а. При продольной деформации  = (dz)/dz называют относительным удлинением (это безразмерная величина, часто выражаемая в процентах; при растяжении -положительная, а при сжатии - отрицательная)

 = а/а называют относительным поперечным сужением (расширением) при поперечной деформации сопровождающей растяжение (сжатие).

До определённых пределов нагружения между продольной деформацией и нормальными напряжениями существует прямо пропорциональная (линейная) зависимость, называемая законом Гука:

 = Е,

в этом выражении Е - модуль упругости (модуль Юнга, модуль упругости 1 рода). Модуль Юнга физическая постоянная материала, характеризующая его жёсткость (чем она больше, тем меньше деформируется материал). Важный факт установлен экспериментально: при простом растяжении (сжатии) отношение поперечной деформации к продольной для данного материала - величина постоянная, называемая коэффициентом Пуассона

 = /

(для разных материалов находится в интервале от 0 до 0,5).

Закон Гука можно записать  = / Е или 1 = N1 /(ЕА),

произведение ЕА называют жёсткостью сечения бруса при растяжении (сжатии). При расчётах вводят жёсткость бруса С = ЕА/1 (жёсткость бруса численно равна силе, которая вызывает удлинение или укорочение бруса, равное единице длины. Обратная величина

 = 1/С = 1/(ЕА)

называется коэффициентом податливости (он численно равен удлинению или укорочению бруса, вызванному единичной силой).

Если брус состоит из нескольких участков разного сечения, удлинение бруса равно алгебраической сумме удлинений отдельных участков.

1 = i 1_i.

При растяжении (сжатии) поперечные сечения перемещаются. Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключённого между этим сечением и заделкой. Взаимное перемещение двух сечений равно изменению длины части бруса, заключённой между этими сечениями.

Например, перемещение произвольного сечения, расположенного на расстоянии z составит _z = l_z = Fz/(EA).

Формула закона Гука применима лишь к отдельному участку бруса, при ступенчатом изменении сечения (а); скачкообразном изменении продольной силы (б); ступенчато-переменном сечении и скачкообразном изменении силы (с) - комбинации случаев (а) + (б).

При нагружении упругого тела внешние силы совершают работу, что приводит к накапливанию в деформируемом теле потенциальной энергии. При медленном (статическом) нагружении работа W полностью перейдёт в потенциальную энергию V, т.е. W = V. При линейной зависимости сил упругости и деформации работа выразится площадью треугольника на графике зависимости сил упругости от величины деформации, т.е. W = 0,5 F1 = 0,5F (этот результат справедлив для любых видов деформации и носит название теоремы Клапейрона).

Таким образом, при растяжении (сжатии) стержня постоянного поперечного сечения, используя закон Гука, получим выражение для запасённой потенциальной энергии V = N² 1/(2ЕА). Поделив запасённую потенциальную энергию на объём, получим выражение для удельной энергии деформации

U = V/A1 = N² / (2EA² ) = ² /2E.