4.6.3. Сведения о решении задачи линейного программирования

Для поставленной задачи ЛП в общем виде вводим следующие обозначения:

1. WC₁X₁….C_nX_nextr

2. a₁₁x₁+…….a_1nx_n=b₁

_{………………………………..}

a_m1x₁+ …a_mnx_n=b_n

3) x₁≥0, … x_n≥0

Обозначим m — число уравнений, n — число неизвестных. Анализ систем (2) и (3) показывает что, может иметь место следующие случаи:

1. m=n: в этом случае решение системы уравнений (если уравнения совместимы) единственное и задача оптимизации решаться не может, т.к. область, в пределах которой может осуществляться поиск минимума или максимума критерия эффективности W обращается в точку

2. m>n: фактически соответствует предыдущему случаю.

3. m<n: в этом случае можно рассчитывать на то, что существует область, допустимых решений в рамках которой можно отыскивать экстремум, и, следовательно, такая задача может решаться как оптимизационная.

Анализ системы ограничений (2) и (3) показывает, что могут иметь место следующие случаи:

1. Условия (2) и (3) противоречивы, т.е. не существует неотрицательного набора чисел Х₁,…,Х_n, удовлетворяющих системе (2).

2. Условия (2) и (3) непротиворечивы, но область неопределенна или не ограничена, т.е. существуют наборы чисел Х₁,…,Х_n которые принимают сколь угодно большие значения.

3. Условия (2) и (3) совместны, в этом случае область определена и ограничена. В последнем случае может быть найдено оптимальное решение.

ОП. 1: Допустимое решение – это всякое неотрицательное решение Х₁0,…, Х_n0 (или неотрицательный набор значений Х₁,…,Х_n), удовлетворяющий системе ограничений (2)

ОП. 2: Оптимальное решение – это одно из допустимых решений системы уравнений (2), обращающее в минимум критерий эффективности (1).

Доказано в линейной алгебре, что:

Если m<n, то часть переменных, число которых k=n-m, могут принимать произвольные (в определенных пределах) положительные значения. Эти переменные называются свободными (СП).

Другая часть переменных, число которых m, всегда могут быть аналитически выражены через СП и такие переменные называются базисными (БП). Они не могут принимать произвольные значения, т.к. определяются исходя из системы уравнений (2), при заданных значениях свободных переменных.

В том случае, если k=2, то задачу линейного программирования можно представить (отобразить) в рамках 3-х мерного пространства, что дает возможность дать геометрическую интерпретацию и наглядно показать и понять суть метода поиска оптимального решения.

Рассмотрим конкретный пример:

n=5, m=3, k=2

Поскольку выбор свободных переменных, количество которых k=2, – произвольный, то в их качестве выбираем X₁ и X₂. В таком случае базисные переменные: X₃, X_4, X₅.

Выразим базисные переменные через свободные переменные.

Построим в пространстве (плоскости) Х₁ОХ₂ т.н. допустимые полуплоскости, в которых соответствующие переменные имеют положительные (допустимые) значения.

Рис. 4.6.3. График области допустимых решений.

Построив линии Х₁=0 и Х₂=0, перейдем к Х₃=0. Для этого правую часть в (2) приравняем к 0: 6–X₁–X₂=0 (Х₁=0 Х₂=6),(Х₂=0, Х₁=6). Каждая из линий Х₁=0,…, Х₅=0 (рис 4.6.3) делит плоскость на две полуплоскости, причем одна из них называется допустимой, в которой соответствующая переменная принимает положительное значение. Геометрическое место точек в пространстве {Х1,0, Х2} которое является общим для всех допустимых полуплоскостей одновременно, называется областью допустимых решений (ОДР).

Обратите внимание! В каждой из вершин плоской ОДР (в 2-хмерной плоскости) — обязательно какие-либо 2 переменные, равны нулю. Доказано, что для k2 в общем случае ОДР представляет собой выпуклый многогранник в k–мерном пространстве. В вершине такого многогранника всегда k переменных, равных нулю. Это важный вывод и на нем базируется симплекс-метод поиск оптимального решения.

Теперь продолжим построение.

Рис. 4.6.3.2. График нахождения минимума W.

Изобразим в системе координат {W,X,0,X₂} ОДР и плоскость, соответствующую уравнению линейной функции W=X₁+X₂+2. Из рисунка можно сделать вывод, что W=W_min в одной из вершин ОДР (Х₁=0; Х₂=0; W_min=2). Этот факт не случаен, а закономерен. Т.е. доказано, что W=W_min всегда в одной из вершин ОДР. А данная геометрическая интерпретация это лишь наглядное подтверждение, что минимум значения W достигается в одной из вершин ОДР представляющей собой выпуклый многоугольник.

В общем случае, т.е. когда решение ищется в k-мерном пространстве и K>2, доказано, что W достигает минимального значения в одной из вершин выпуклого многогранника в k–мерном пространстве и в каждый из этих вершин какие-либо k переменных равны нулю. На этих выводах базируется симплекс-метод, позволяющий находить оптимальные решения задач линейного программирования. Рассмотрим суть этого алгоритма.