Вычисление коэффициентов а0 и в0. (этап 4)

Для определения А₀ и В₀ разностного уравнения =A₀X_i-1+B₀Y_i-1 вводится так называемая функция ошибки L и ставится задача нахождения значений А₀ и В₀ при котором L min:

Д ля нахождения таких значений А₀ и В₀ при которых L min необходимо сформировать частные производные L и приравнять их к нулю.

;

или

упрощая запись, получаем:

Из полученной системы алгебраических уравнений с двумя неизвестными можем определить значения А₀ и В₀. Представим данную систему уравнений в матричной форме:

Из этой системы можно найти значения А₀ и В₀:

Определитель:

Получаем минор A₀ путём замены 1-го столбца квадратной матрицы на матрицу-столбец правой части:

минор A₀==·–()();

;

минор Bo==;

.

0. Проверка полученной математической модели на адекватность (этап 5)

Для реализации этого этапа используются 2 подхода. Оба вычисляют среднеквадратичную ошибку (среднеквадратичное отклонение, СКО) S:

1. В 1-ом подходе S₁ сравнивается с S_доп. Если S₁≤S_доп(Δ), то модель считается адекватной;

2. 2-й подход. При нём сравниваются S моделей разного порядка S₁ и S₂. Если , то нет смысла выбирать модель на основе разностного уравнения 2-го порядка, а можно оставить модель 1-го порядка. Если указанные оценки дают отрицательный результат, то переходим к следующему этапу.

0. Выбор модели объекта в виде разностного уравнения более высокого порядка. (Этап 6)

Разностное уравнение 2-го порядка имеет вид:

Начнём заново рассматривать алгоритм, начиная с пункта 3.3.3.

Этап 3

Экспериментальные данные	Расчётные формулы
Y-1 X-1, Y1,Y0,X0	=A0X0+A1X-1+B0Y0+B1Y-1
Y0,X0,Y1,X1,Y2	=A0X1+A1X0+B0Y1+B1Y0
…….	……
Yi-2,Xi-2,Yi-1,Xi-1,Yi	=A0Xi-1+A1Xi-2+B0Yi-1+B1Yi-2
……	..…..
Ym-2,Xm-2,Ym-1,Xm-1,Ym	=A0Xm-1+ A1Xm-2+B0Ym-1+B1Ym-2

Этап 4

; ; ;

Получим:

После некоторых преобразований получаем систему 4-х уравнений с 4-мя неизвестными А0, А1, В0, В1:

П редставляем эту систему уравнений в матричной форме:

Для определения А₀, А₁, В₀, В₁ находим миноры:

м инорА₀==…

и аналогично для миноров по А₁, В₀, В₁.

Используя полученное выражение, запишем формулы для определения А0 и В0, А1 и В1 .

Этап 5

Для оценки адекватности ММ вычисляем среднеквадратичное отклонение (относительное) по формуле:

; S₂S_доп.

0. Разработка неформальных математических моделей

Для некоторых объектов формальная математическая модель нежелательна, в таких случаях надо использовать фундаментальные закономерности, лежащие в основе процессов в данном объекте, а также умение анализировать, обобщать и т.д. Если удаётся построить неформальную математическую модель, то она 1)обеспечивает сходство реакций модели с реакцией объекта, 2)легко адаптируется при перестройке объекта, 3)а также эта ММ работает в более широком диапазоне вариаций входных и выходных параметров, чем диапазон вариаций в процессе эксперимента. В связи с этим такие модели считаются более качественными.

Рассмотрим пример построения неформальной математической модели с использованием теоретико-физического подхода для аппарата-смесителя, который является частью технологической линии в производстве цемента. Этот аппарат нужен, чтобы делать однородную смесь с заданным процентным содержанием компонент.

Рис. 3.4.1. Схема аппарата–смесителя.

Сырьё: измельчённый продукт, содержащий такие основные компоненты как: окись кальция (СаО), двуокись кремния (SiO₂), окись алюминия (AL₂O₃).

В данном аппарате измельчённое сырьё интенсивно перемешивается и поступает на выход, причём для стационарного процесса имеет место материальный баланс, т.е. объем сырья на входе в единицу времени равен объему продукта на выходе в единицу времени.

Поскольку относительное или процентное содержание каждого компонента может меняться во входном потоке, то оно меняется и в выходном. Для получения качественного цемента надо уметь прогнозировать относительное содержание компонент в выходном потоке от относительного содержания этих компонент во входном потоке. Следовательно, нужно найти математическую модель:

;

где - относительное содержание соответствующего компонента в выходном и во входном потоках.

Рассмотрим, как строиться математическая модель. Введем обозначения:

1. – относительное (процентное) содержание окиси кальция в объёме материалов во входных и выходных потоках;

2. С_вх, С_вых – абсолютное количество окиси кальция в объеме материалов входного и выходного потоков;

3. R_вх ,R_вых – скорость потока материалов на входе и выходе;

4. V – объём смесителя;

5. С_см – абсолютное изменение количества окиси кальция в самом смесителе за время t;

6. - относительное изменение содержания окиси кальция в смесителе за время t.

Используя соотношения материального баланса и считая, что в течении достаточно малого времени параметры не меняются, можно записать формулы определения абсолютного содержания окиси кальция в входном и выходном потоках за время :

С_вх =·R·t (1)

С_вых =·R·t (2)

Отсюда абсолютное изменение содержания окиси кальция в смесителе.

С_cм=Свх – C_вых=(–)·R·t (3)

С другой стороны изменение относительного процентного содержания СаО в смесителе составляет:

=С_см/V (4)

отсюда,

С_cм=· V (5)

Подставляя (5) в (3), получаем:

·V=(–)·R·t (6)

В связи с тем, что имеет место интенсивное перемешивание измельчённой массы, то состав этой воздушно-пылевой смеси практически одинаков во всем объеме и в том числе с составом в выходном потоке и, следовательно, такое допущение (С_смС_вых) правомерно. Поэтому уравнение (6) можно записать в виде:

= (R/V)·(–)·t (7)

Если последнее уравнение записать в виде:

/t=(R/V)·(–), и обозначать (R/V)=,

то, устремляя t→0, получим:

Рассуждая аналогично, можно получить уравнения, связывающие относительные содержания компонент SiO₂ и Al₂O₃ во входном и выходном потоках:

Таким образом, построена неформальная математическая модель объекта.

На основании получившегося уравнения покажем, как связаны обычные дифференциальные уравнения 1-го порядка с разностным уравнением вида y_i=A₀·x_i-1+B₀·y_i-1

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами найдём методом разделения переменных, полагая, что х=х₀

Т. к. х=х₀=const, то dyd(y–x₀). Действительно: (y–x₀)=(y₁–x₀)|_t1–(y–x₀)|_t2=y|_t, поэтому можно записать:

Проинтегрировав левую и правую части уравнения, получаем: ln(y–x₀) = –t.

Подставляя пределы, получаем:

ln(y–x₀)–ln(yo–xo) = –·(t–t₀) или ln((y–x₀)/(y₀–x₀))= –·(t–t₀).

Потенцируем левую и правую часть:

или

Выполняя алгебраические преобразования, находим:

– решение исходного дифференциального уравнения.

Для установления связи данного уравнения с разностным уравнением, запишем данное уравнение для определенных значений выходных координат в моменты t₀,t₁,…t_n сдвинутые друг относительно друга на t. Обозначим эти значения функции y₁,y₂,…y_i.

Для t=const имеем:

1. Для :

2. Для :

Если обозначить ; то последнее выражение можно записать в виде: y_i=A₀·х_i-1+B₀·y_i-1. Это и есть разностное уравнение 1-го порядка. Отсюда видно, что разностное уравнение может быть получено из решения дифференциального уравнения. При этом значения коэффициентов разностного уравнения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения и периода дискретизации t.