Тема 2. Системы линейных уравнений План

Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Матричная форма записи СЛУ. Условия совместности систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решение СЛУ методом обратной матрицы и методом Крамера. Метод Гаусса решения СЛУ. Однородные СЛУ. Фундаментальная система решений. Использование систем линейных уравнений в экономике. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Экономико-математическая модель линейного обмена.

Понятие системы линейных уравнений (слу)

Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными будем называть систему вида:

(1)

или в сокращенной записи:

, ()

где .

Определение 2. Матрицы

называются основной, столбцом свободных членов и расширенной матрицами системы (1) соответственно.

Определение 3. Система, у которой все свободные члены равны нулю, т. е. , называется однородной. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, т.е. , то система называется неоднородной.

Определение 4. Упорядоченный набор чисел называется решением системы (2.1), если при подстановке этих чисел в систему вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы обращается в тождество.

Решение системы можно записывать также в виде столбцевой матрицы

которую будем называть вектор-решением данной системы.

Определение 5. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае – несовместной.

Определение 6. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Совместная система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.

Решить систему означает: 1) выяснить является ли система совместной; 2) если система совместна, то определить количество решений, т.е. установить является система определенной или нет, и найти все ее решения.

Определение 7. Две системы называются эквивалентными, если они имеют одни и те же решения или обе несовместные.

Матричная форма записи слу

Систему линейных уравнений (1) можно записать в матричной форме:

, (2)

где А – основная матрица системы, В – столбец свободных членов, а – столбцевая матрица высоты , составленная из неизвестных.

Действительно, произведение матрицы на матрицу определено, и согласно правилу умножения матриц имеем:

Элементами полученной столбцевой -матрицы являются левые части уравнений системы (1). Воспользовавшись определением о равенстве двух матриц, из (2) получаем в точности систему (1).

Существует еще одна матричная форма записи системы (1):

, (3)

где под подразумеваются столбцевые матрицы, являющиеся столбцами матрицы A системы.

Каждой системе (1) соответствует единственная пара матриц A, B и наоборот.