Критерий Сильвестра

Пусть – произвольная квадратичная форма, и – матрица этой квадратичной формы.

Определение 10. Главными, или угловыми, минорами квадра­тичной формы называются миноры

расположенные в левом верхнем углу ее матрицы. При этом .

Теорема 8 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно опре­делена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительные.

Следствие 1. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опре­делена,

необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, начиная со знака «минус» для минора первого порядка, т.е. выполнялись неравенства:

Следствие 2. Для того чтобы невырожденная квадратичная форма была знакопеременна, необходимо и достаточно, чтобы для матрицы квадратичной формы выполнялось хотя бы одно из ниже перечисленных условий:

• один из угловых миноров равен нулю;

• один из угловых миноров четного порядка отрицателен;

• два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.

Следствие 3. Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опре­де­ле­на, необходимо и достаточно, чтобы при знаки всех угло­вых ми­норов ее матрицы чередовались.