Скалярное произведение векторов
Определение
14. Скалярным
произведением двух
векторов
и
называется число равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между
ними.
Скалярное
произведение обозначается
,
или
,
или пишут просто
.
Таким образом, по определению
.
(8)
Замечание.
Под углом
между векторами
и
понимается наименьший из двух углов,
образуемых этими векторами при совмещении
их начал, т.е.
.
Иногда
для обозначения угла между векторами
и
пишут
.
Замечание. В случае если один из векторов-сомножителей равен нулю, то скалярное произведение равно нулю.
Свойства скалярного произведения
1)
(коммутативность);
2)
(дистрибутивность);
3)
;
4)
Скалярное произведение вектора на себя
равно квадрату его длины:
;
5)
Скалярное произведение двух ненулевых
векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда эти векторы перпендикулярны,
т.е.
и
.
Замечание.
По аналогии с операцией умножения
на множестве чисел в случае скалярного
умножения вектора на себя будем писать
вместо
.
На практике удобно использовать формулу
для нахождения длины вектора, которая
легко получается из свойства 4:
(9)
Определение
15. Два
ненулевых вектора
и
называются
ортогональными,
если их скалярное произведение равно
нулю.
Теорема
3 (координатное представление скалярного
произведения).
Если
векторы
и
относительно базиса {
}
заданы своими координатами, т.е.
,
,
то скалярное произведение векторов
и
равно сумме произведений соответствующих
координат этих векторов, т.е.
.
(10)
Следствие 1.
.
(11)
Таким образом, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора.
Замечание.
Длина вектора
,
где
,
,
находится по формуле
.
Следствие 2.
Косинус угла между ненулевыми векторами
и
,
заданными в базисе {
}
координатами
,
вычисляется по формуле
.
(12)
Замечание.
Косинусы
углов между вектором
и координатными осями (базисными
векторами
)
называются направляющими
косинусами вектора
.
При подстановке координат векторов
,
в формулу (12) получаются формулы для
нахождения направляющих косинусов
вектора
(13)
Возводя в квадрат обе части каждого из равенств (13) и складывая полученные результаты, находим
,
(14)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Геометрический смысл скалярного произведения. Угол между двумя ненулевыми векторами острый (тупой), если скалярное произведение этих векторов есть число положительное (отрицательное). Угол между двумя ненулевыми векторами прямой, если скалярное произведение этих векторов равно нулю.
Это утверждение непосредственно следует из формулы (8) и свойств косинуса.