- •Тема 1. Матричная алгебра План
- •Понятие матрицы. Виды матриц
- •Операции над матрицами и их свойства
- •I. Сложение матриц
- •II. Умножение матрицы на число
- •Свойства операций сложения и умножения на число:
- •III. Произведение матриц
- •Свойства операции умножения матриц:
- •IV. Транспонирование матриц
- •Свойства операции транспонирования:
- •Понятие определителя. Разложение определителя по элементам строки (столбца)
- •Свойства определителей
- •Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре
- •Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров
- •Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения
- •Свойства обратных матриц:
- •1) Если, то домножая обе части уравнения на слева, получим .
- •2) Если, то домножая обе части уравнения на справа, получим .
- •Использование алгебры матриц в экономике
- •Тема 2. Системы линейных уравнений План
- •Понятие системы линейных уравнений (слу)
- •Матричная форма записи слу
- •Условия совместности систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли
- •Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера
- •Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- •Однородные системы линейных уравнений
- •Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений
- •Использование систем линейных уравнений в экономике
- •Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •Экономико-математическая модель линейного обмена
- •Тема 3. Комплексные числа План
- •Понятие комплексного числа
- •Действия над комплексными числами
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:
- •Тема 4. Элементы векторной алгебры План
- •Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число
- •Координаты вектора на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Свойства скалярного произведения
- •Понятие линейного пространства
- •Примеры линейных пространств
- •Линейная зависимость и независимость системы n векторов
- •Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Матрица перехода к новому базису
- •Свойства матрицы перехода
- •Евклидово пространство: основные понятия
- •Выпуклые множества, свойства выпуклых множеств
- •Тема 5. Линейные отображения План
- •Понятие линейного оператора
- •Матрица линейного оператора
- •Действия над линейными операторами
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы
- •Критерий Сильвестра
Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия
Определение 1. Геометрическим вектором на плоскости или в трехмерном пространстве будем называть направленный отрезок, т.е. отрезок, у которого указано, какая его точка начальная, а какая конечная.
Вектор с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать . Точку А вектора называют так же точкой приложения вектора.
Векторы также принято обозначать строчными буквами , … .
Определение 2. Вектор , т.е. вектор, начало которого совпадает с точкой В, а конец — с точкой А, называют противоположным вектору . Если , то обозначают: .
Замечание. Для вектора противоположным является вектор , т.е. .
Определение 3. Вектор, начало и конец которого совпадают, называют нулевым вектором (нуль-вектором) и обозначают или пишут просто 0.
Определение 4. Длиной (модулем, или абсолютной величиной) вектора называется число (неотрицательное), равное длине отрезка AB. Обозначается .
Длина нуль-вектора равна нулю.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается .
Определение 6. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .
Определение 7. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или на параллельных прямых, т. е. существует прямая, которой они параллельны.
Коллинеарные векторы обозначаются .
Теорема 1. Если векторы и коллинеарные, то существует единственное число такое, что .
Определение 8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях, т.е. существует плоскость, которой эти векторы параллельны.
Теорема 2. Если векторы , и компланарные, то существуют единственные числа такие, что .
Теорема 3. Пусть в трехмерном пространстве даны три некомпланарных вектора , и , тогда любой вектор этого пространства можно разложить по данным векторам, причем единственным образом, т. е. существуют единственные числа такие, что .
Определение 9. Два коллинеарных вектора и называются одинаково направленными, или сонаправленными, если их концы лежат по одну сторону от прямой, проведенной через их начала. Если векторы и лежат на одной прямой, то они считаются сонаправленными в случае, если лучи, определяемые этими векторами, содержатся один в другом. Обозначаются . Коллинеарные векторы, не являющиеся сонаправлеными, называются противоположно направленными и обозначаются .
Сонаправленные векторы (, ) |
Противоположно направленные векторы (, ) |
|
|
Определение 10. Два вектора и называются равными, если они сонаправленные и имеют одинаковую длину, т.е. выполнены следующие условия:
1. ;
2.
Определение 11. Пусть дан направленный отрезок (геометрический вектор). Множество всех направленных отрезков, равных данному, называется свободным вектором.
Другими словами, свободный вектор это геометрический вектор, который можно переносить параллельно самому себе. В дальнейшем мы будем рассматривать свободные векторы.