Базисный минор и ранг матрицы. Теорема о базисном миноре

Определение 21. Минором порядка r матрицы () называется определитель порядка r, все элементы которого расположены на пересечении любых r строк и r столбцов этой матрицы.

Отметим следующее свойство миноров матрицы:

Если в матрице все миноры порядка r равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.

Миноры r+1 порядка, полученные присоединением к исходному минору одной строки и одного столбца, называются окаймляющими по отношению к исходному; они содержат его целиком внутри себя.

Определение 22. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Обозначается: rang A.

Замечание. Из определения ранга матрицы следует

а) для произвольной матрицы выполняется: ;

b) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. матрица А – нулевая;

c) для квадратной матрицы А n-го порядка rangА = n тогда и только тогда, когда .

Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор r-го порядка , отличный от нуля, то требуется вычислить все миноры r+1 порядка, окаймляющие минор. Если они все равны нулю или не существуют, то ранг матрицы равен r. Если хотя бы один из , то с ним следует поступить также как с минором .

Описанный выше способ поиска ранга матрицы приводит к вычислению некоторого, быть может, очень большого, числа миноров этой матрицы. Существует еще один способ нахождения ранга матрицы, не связанный с вычислениями миноров. Этот метод основан на предварительном упрощении матрицы при помощи элементарных преобразований.

Определение 23. Элементарными преобразованиями над матрицей называются следующие преобразования строк (столбцов) матрицы: 1) перестановка двух строк (столбцов) местами; 2) умножение строки (столбца) на любое отличное от нуля число; 3) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число; 4) вычеркивание нулевой строки (столбца).

Определение 24. Матрицы А и В называются эквивалентными, если В можно получить из А с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы будем обозначать следующим символом: А~В.

Теорема 2. Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Действительно, если к матрице применить элементарные преобразования 1–3, то эти же преобразования или часть из них будут совершены и над ее базисным минором. Из свойств определителя 2, 9 и следствия к свойству 5 следует, что базисный минор, хотя численно и может поменяться, но в нуль в результате данных преобразований не обратится, т.е. ранг матрицы не изменится. Вычеркивание нулевой строки (столбца) так же не может изменить порядка базисного минора, т.е. ранг матрицы остается прежним.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Для нахождения ранга матрицы нужно элементарными преобразованиями привести эту матрицу к трапециевидному виду

где _{отличны от нуля, и сосчитать количество ненулевых строк, стоящих в ней.}