Свойства определителей

1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е.

.

Следствие. Столбцы и строки в определителе равноправны, а именно: всякое утверждение для строк определителя будет верным и для столбцов.

2. Если в определителе поменять две строки (два столбца) местами, то определитель изменит свой знак на противоположный.

3. Если определитель содержит нулевую строку (столбец), то он равен нулю.

4. Определитель, содержащий две одинаковых строки (столбца), равен нулю.

Доказательство.

Действительно, пусть имеет две одинаковые строки, т. е. соответствующие элементы i-й и k-й строк равны. Если эти строки поменять местами, то по свойству 2 определитель изменит свой знак на противоположный. На самом же деле, так как переставляются одинаковые строки, определитель не поменяется, т. е. . Это равенство возможно, только в том случае, если .

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя имеют общий множитель, то его можно выносить за знак определителя.

Следствие. Если все элементы одной из строк (одного из столбцов) определителя увеличить в () раз, то и сам определитель увеличится в раз.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

Доказательство.

Пусть, например, элементы i-й строки определителя отличаются от соответствующих элементов k-й одним и тем же множителем . Вынося общий множитель из i-й строки за знак определителя, мы получаем две одинаковых строки. По свойству 4 такой определитель равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки (j-го столбца) определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых: , то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й (все столбцы, кроме j-го), – такие же, как и в данном определителе, а i-я строка (j-й столбец) в первом состоит из элементов , а во втором – из элементов , т.е.

Это свойство называют правилом сложения определителей.

Определение 20. Говорят, что строка определителя является линейной комбинацией других его строк, если каждый элемент этой строки равен сумме соответствующих элементов других строк, умноженных на некоторые числа.

Аналогичное определение можно сформулировать и для столбцов определителя.

8. Если одна из строк (столбцов) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю.

9. Величина определителя не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число.

Замечание. На практике для вычисления определителей удобно применять их свойства. Особенно полезным оказывается использование свойства 9 вместе с теоремой 1 о разложении определителя по элементам строки (столбца). А именно, свойство 9 позволяет преобразовать определитель так, чтобы в любой строке или любом столбце все элементы, кроме одного, заменились нулями. Затем, раскладывая определитель по этой строке (столбцу), мы сводим вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя (n–1)-го порядка.