Выпуклые множества, свойства выпуклых множеств

Рассмотрим n-мерное евклидово пространство .

В пространстве наряду с векторами можно рассматривать также точки. Под точкой n-мерного евклидова пространства будем понимать вектор с началом в начале координат.

Определение 26. Множество точек n-мерного евклидова пространства называется выпуклым, если, наряду с любыми двумя его точками, содержится и весь отрезок.

Теорема 5. Точка X тогда и только тогда является точкой отрезка с концами и , когда выполняется условие где .

Тема 5. Линейные отображения План

Линейные операторы: основные понятия, свойства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Критерий знакоопределенности квадратичной формы.

Понятие линейного оператора

Пусть и – линейные пространства размерности n и m.

Определение 1. Отображением линейного пространства в линейное пространство называется правило f, по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент . Обозначают: или .

Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Определение 2. Отображение называется линейным, если оно со­храняет линейные операции над векторами, т.е. выполняются следующие соотношения:

_1.

_2.

Будем рассматривать линейные отображения . Такие отображения называются линейными операторами (линейными преобразованиями).

Определение 3. Линейный оператор называется тождественным или единичным, если он преобразует любой вектор в самого себя. Он обозначается E, т.е. .

Определение 4. Линейный оператор называется нулевым, если он преобразует любой вектор в нулевой вектор . Он обозначается O, т.е. .

Матрица линейного оператора

Пусть в векторном пространстве задан базис , запишем разложение вектора по данному базису:

В силу того, что оператор – линейный, имеем:

Так как , , …, тоже являются векторами пространства , то их также можно разложить по базису, т. е. представить в виде:

Таким образом, окончательно можно представить в виде:

С другой стороны, вектор можно также разложить по базису :

В силу однозначности разложения вектора по базису, имеем:

Система уравнений в матричной форме имеет вид:

(1)

или в сокращенной матричной форме

()

Таким образом, действие линейного оператора на вектор сводится к умножению некоторой матрицы на столбцевую матрицу X, составленную из координат вектора . Матрица А называется матрицей линейного оператора в базисе , а ранг матрицы А – рангом оператора. Порядок матрицы А совпадает с размерностью пространства. Матрица линейного оператора полностью характеризует линейный оператор.

Если матрица А невырожденная, то линейный оператор (линейное преобразование переменных) называется невырожденным.

Справедлива следующая

Теорема 5. Различным линейным операторам и , действующим в n- мерном векторном, соответствуют различные матрицы в базисе. Любая квадратная матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора, действующего в линейном пространстве.

Пусть в векторном пространстве заданы «старый» и «новый» базисы. При переходе от старого базиса к новому базису пространства матрица линейного оператора f изменяется, т.е. если А и – матрицы линейного оператора f в старом и новом базисах, то они связаны соотношением:

()

_{где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.}

Замечание. При переходе от старого базиса к новому определитель матрицы сохраняет свою величину, т.е. .