Матрица перехода к новому базису

Пусть в n-мерном векторном пространстве даны два различных базиса: и , которые условимся называть «старым» и «новым» базисами пространства. Каждый из векторов нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:

_{а так же записать в матричной форме:}

₍₁₇₎

_{или в сокращенной матричной форме:}

(17)

_{Матрица}

_{называется матрицей перехода от старого базиса к новому базису.}

_{Замечание. Следует обратить внимание на то, что координаты векторов нового базиса по старому базису располагаются в матрице перехода по столбцам.}

Формулы (16) и (16) называются формулами преобразова­ния базиса.

Свойства матрицы перехода

_{1) Матрица перехода является невырожденной, т.е.}

2) Матрица перехода от нового базиса к старому базису имеет вид . Действительно, умножив равенство (16) справа на матрицу , получим

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах.

Пусть имеет координаты в старом базисе и в новом базисе, тогда

Подставив в это выражение разложение векторов по базису , получим

В силу однозначности разложения вектора по базису, имеем

_{или в матричной форме:}

(18)

_{или в сокращенной матричной форме:}

(1)

_{Координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты вектора в старом базисе}

Формулы (18), (1) называют формулами преобразования координат.

Евклидово пространство: основные понятия

Рассмотрим действительное линейное пространство L.

Определение 22. Будем говорить, что в линейном пространстве L задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число так, что выполняются следующие условия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) , причем равенство нулю имеет место лишь для нулевого вектора .

Определение 23. Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, будем называть евклидовым пространством и обозначать E.

Если n-мерное линейное пространство — евклидово, то будем называть его евклидовым n-мерным пространством, а базис линейного пространства – базисом евклидова пространства.

Дадим определения длины вектора и угла между векторами в евклидовом пространстве E.

Определение 24. Длиной вектора называется величина

.

Углом между векторами называется угол , косинус которого равен

Определение 25. Два вектора евклидова пространства E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

.

Пусть в евклидовом пространстве задан некоторый ортонормированный базис , т.е. при и при . Если векторы относительно данного базиса имеют разложения , , то несложно показать, что скалярное произведение будет определяться формулой

. (19)

Замечание. Длину вектора и угол между векторами с учетом (4.19) можно вычислять по формулам

(20)

(21)