Линейные операции над векторами

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения векторов и умножения вектора на число. Введем эти операции.

Определение 12. Пусть даны два вектора . Построим равные им векторы и . Вектор называется суммой двух векторов и обозначается .

Таким образом, для любых точек А, В и С справедливо равенство

. (1)

Указанное в определении правило сложения векторов называется правилом тре­угольника. Из него несложно получить еще одно правило сложения век­торов, известное как правило параллелограмма. Оно состоит в следующем: если совместить начала неколлинеарных векторов и , отложить их от произ­вольной точки A так, что , и взять в качестве сторон параллелограм­ма ABCD, то вектор , лежащий на диагонали этого параллелограмма, и есть сумма . Таким образом,

.

Замечание. Правило сложения можно распространить на любое конечное число векторов. Для того чтобы найти сумму векторов , нужно последовательно откладывать данные векторы так, чтобы конец предыдущего вектора совпадал с началом последующего. В результате получится некоторая ломаная линия, звеньями которой будут являться данные векторы. Если эту ломаную замкнуть, т.е. соединить начало первого вектора с концом последнего, то получится вектор . Сформулированное правило сложения n векторов называют правилом замыкания ломаной для многоугольника.

Определение 13. Произведением вектора на число () называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где — модуль числа .

2) , если 0;

, если < 0.

Замечание. Если или , то вектор =.

Замечание. При умножении вектора на число получается вектор –, противоположный вектору .

Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число

Для любых векторов и любых чисел , выполняется:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Следствие. Разность двух векторов определяется как сумма векторов :

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Рассмотрим реальное пространство.

Напомним, что в трехмерном пространстве декартова прямоугольная система координат определяется заданием единицы для измерения длин и трех взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке. Точка пересечения называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, а третья – осью аппликат. Начало координат обозначается буквой О, а координатные оси обозначаются символами Ox, Oy, Oz соответственно. Декартова прямоугольная система кординат обозначается Oxyz.

Координатами произвольной точки А в заданной системе координат называются числа

где – проекции точки А на координатные оси, а обозначает величину отрезка оси абсцисс, обозначает величину отрезка оси ординат, обозначает величину отрезка оси аппликат. Число x называется абсциссой, число y называется ординатой, а z – аппликатой точки А. Записывают: А(x, y, z).

Напомним, что в трехмерном пространстве – три базисных вектора: – на оси абсцисс, – на оси ординат, – на оси аппликат.

Пусть — произвольный вектор пространства. Отложив вектор от начала координат, мы получим упорядоченную тройку чисел (x, y, z) – координаты конца А отложенного вектора. Эти числа называются координатами вектора относительно базиса .

Так как , , , а (см. рис.), то

(2)

Замечание. Вектор с началом в начале координат и концом в точке А называется радиус-вектором точки А. Таким образом, декартовыми координатами вектора относительно данной системы координат называются координаты конца равного этому вектору радиус-вектора.

Из определения координат вектора непосредственно следует, что при сложении векторов их координаты складываются, при вычитании — вычитаются; при умножении вектора на число — каждая координата умножается на это число, т.е. если , то

; . (3)

Признак коллинеарности. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и является пропорциональность их координат, т.е.

. (4)

Признак компланарности. Необходимым и достаточным условием компланарности трех ненулевых векторов , и является равенство

Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем.

Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца).

Рассмотрим две точки А и В, причем , . Найдем координаты вектора (см. рис.).

Решение. Из рисунка видно, что . Так как , , то используя (4.3), получим:

. (6)

Таким образом, для того чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала.

Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок , причем и . Пусть данный отрезок точкой M делится в соотношении . Найдем координаты точки М.

Решение. Из рисунка видно, что справедливо векторное равенство .

Предположим, что точка M имеет координаты . Находя по формуле (6) координаты векторов , перепишем равенство в виде:

Выражая из первого равенства x, из второго – y, а из третьего – z, находим координаты точки М:

(7)

В случае если , т. е. , получаем формулу координат середины отрезка

(7)

Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно так же задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).