Тема 3. Комплексные числа План

Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

Понятие комплексного числа

Определение 1. Число вида x+yi, где x и у – действительные числа, а i – число, квадрат которого равен минус единице (), называется комплексным и обозначается z, т.е.

z=x+yi. (1)

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Re z , а число у – мнимой часть комплексного числа z и обозначается Im z. Число z= i называется мнимой единицей. Множество всех комплексных чисел обозначается буквой С.

Выражение (1) называется алгебраической формой комплексного числа z.

Замечание. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Именно, любое действительное число x можно рассматривать как комплексное число x+0i.

Определение 2. Два комплексных числа z₁=x₁+y₁i и z₂=x₂+y₂i называются равными, если x₁= x₂ и y₁= y₂.

Замечание. Неравные комплексные числа в общем случае несравнимы между собой.

Определение 3. Комплексные числа и называются сопряженными (друг другу).

Действия над комплексными числами

Правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел z₁=x₁+y₁i и z₂=x₂+y₂i:

_1.

_2.

_3.

_4.

Тригонометрическая форма комплексного числа

_{Из (1) следует, что между комплексными числами и точками координатной плоскости существует взаимно-однозначное соответствие:}

_{Поэтому любое комплексное число z=x+iy можно изобразить точкой М(x, y) координатной плоскости или ее радиус-вектором . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается , т.е. , а угол между осью Ох и вектором , измеряемый против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа z и обозначается аrg z, т.е. = аrg z. Будем полагать, что .}

Из прямоугольного треугольника ОАМ находим:

₍₂₎

Подставляя (2) в (1), получим тригонометрическую форму комплексного числа:

(3)

_{где , а – решение системы}

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

_1.

_2.

_{3. Формула Муавра:}

4.

Тема 4. Элементы векторной алгебры План

Векторы на плоскости и в пространстве: основные понятия, линейные операции над векторами, координаты вектора, скалярное произведение векторов. Понятия линейного пространства и подпространства, примеры. Линейная зависимость и независимость системы n векторов. Свойства линейной зависимости векторов. Примеры линейно зависимых и линейно независимых систем векторов. Базис, разложение вектора по базису. Матрица перехода к новому базису и ее свойства. Евклидово пространство. Выпуклые множества. Свойства выпуклых множеств. Решение системы неравенств.