Лекция n 4 Боровская теория атома водорода Спектр излучения атома водорода в теории Бора § 1. Боровская теория атома водорода
Атом водорода - простейший из всех атомов. Его ядро - элементарная частица протон. Масса протона в 1836 раз больше массы электрона, вследствие этого ядро в первом приближении можно считать неподвижным и рассматривать только движение электрона (см. рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Заряд протона равен e, он положительный и равен по абсолютной величине заряду электрона, поэтому между ядром и электроном действует кулоновская сила притяжения.
здесь e = 1,6·10-19 Кл - элементарный заряд.
По второму закону Ньютона (см. Ч. 1, (4.4)):
При равномерном движении по окружности радиуса r нормальное ускорение электрона:
После подстановки этого выражения во второй закон Ньютона получим уравнение движения электрона:
Из этого уравнения не следует никаких ограничений на r - радиус орбиты электрона. Так появилась проблема размера атома: классическая механика позволяла атому иметь любой размер, опыт же показывал, что величина R ~ 10-10 м.
Кроме этой проблемы здесь существовала упомянутая в лекции N 1 (см. конец §1) проблема стабильности атома: в классической теории ускоренно движущийся электрон должен непрерывно излучать энергию, в результате чего электрон в атоме очень скоро, за время ~10-8 с упадет на ядро.
Проблемы эти были разрешены Н. Бором на основе двух сформулированных им постулатов, дополненных условием стационарности состояния атома. Вот эти постулаты.
Первый постулат Бора:
Существуют стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает электромагнитных волн.
Стационарные состояния соответствуют дискретному ряду дозволенных значений полной энергии En (n = 1,2,3,...) (в квантовой физике мы будем обозначать полную энергию буквой Е, потенциальную - буквой U). Изменение энергии связано с квантовым (скачкообразным) переходом атома из одного стационарного состояния в другое.
Условие стационарности состояния атома - квантование момента импульса электрона L.
При движении электрона по круговой орбите радиуса rn (n = 1,2,3,...) его момент импульса Ln = mevrn должен быть кратен постоянной Планка, деленной на 2π, т.е.
Здесь me - масса электрона; v - его скорость. Число n называют главным квантовым числом.
Так
как
,
то с учетом этого обозначения условие
квантования орбит будет иметь следующий
вид:
Второй постулат Бора:
Излучение
испускается или поглощается в виде
квантов энергии
при переходе электрона из одного
стационарного состояния в другое.
Энергия кванта (фотона) равна разности
энергий стационарных состояний атома,
между которыми происходит переход:
Здесь En - энергия стационарного состояния атома до перехода электрона;
Em
- энергия стационарного состояния
после квантового перехода
электрона. При En
> Em
фотон с энергией
излучается,
при En
< Em
атом поглощает фотон
.
Как мы видим, постоянная Планка появляется у Бора дважды: первый раз она определяет стационарные состояния, второй - частоту излучения (или поглощения) при переходе атома из одного стационарного состояния в другое.
Применим условие стационарности состояния атома (4.2.). С помощью этого условия исключим из уравнения (4.1) скорость v. В результате для радиусов стационарных орбит rn получим:
Радиус первой орбиты (n = 1) называется первым боровским радиусом, его обозначают r0. Численное значение первого боровского радиуса:
Полная энергия E атома водорода в нашей модели равна сумме кинетической энергии (mev2max)/2 и отрицательной потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром: (-e2)/(4πε0r), т.е.
Из уравнения движения электрона (4.1) заменим в (4.7) mv2/2 на e2/(8πε0r), тогда полная энергия атома водорода
Подставив сюда выражение для rn из (4.5), получим En - энергию стационарного состояния атома водорода, зависящую от главного квантового числа n:
Состояние атома водорода при главном квантовом числе n = 1 называется основным состоянием. Численное значение энергии основного состояния атома водорода:
С учетом значения E1 энергия стационарного состояния En имеет простой вид:
